E1-071 n（＞3）名乒乓球选手单打竞赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明，总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．【题说】 1987 年全国联赛二试题 3．【证】 用英文字母表示选手，用 MA表示 A 的对手集，并假定 A 是赛过场次最多（若有并列的可任选一名）的选手．若命题不成立，则存在 B、C，使得去掉 A 后 B、C 的对手集相同．由于MB≠MC，所以 A 恰与 B、C 中一个赛过，不妨设 B∈MA、C MA．同样存在 D、E，D∈MC、E MC，去掉 C 后，D、E 的对手集相同．因为 A MC，所以 D 不是 A；又 D∈MC，所以 D∈MB，即B∈MD=ME∪{C}，从而 B∈ME．C ME，而去掉 A 后，B、C 的对手集相同，因此 E=A．于是 MA=ME=MD\{C}，即 MA比 MD少一个元素 C，与 A 为赛过场次最多的假设矛盾．命题得证．E1-072 一个俱乐部中有 3n+1 个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，假如每个人都有 n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有 3 个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【题说】 1987 年匈牙利数学奥林匹克题 3．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有 3n+1 个点的图（假定任意三点都不在一直线上），当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的 3n 条线段中，假如某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出 n 条红线，角形中有 3 个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．E1-073 在一块平地上有 n 个人，对每个人，他到其他人的距离均不相同，每人都有一把水枪，当发出火警信号时，每人用枪击中距他最近的人，当 n 为奇数时，证明至少有一个人身上是干的．当 n 为偶数时，此结论是否正确？【题说】 第十九届（1987 年）加拿大数学奥林匹克题 4．【证】 设 n=2m-1，对 m 进行归纳，m=1，结论显然正确．假设 n=2k-1 时结论正确，对于 2k+1 个人，其中距离最近的两人设为 A、B．剩下的 2k-1 人中，依归纳假设，有一个人 C 身上是干的．因 AC＞AB，BC＞AB．故把 A、B 考虑进去时，C 身上仍是干的．若 n 是偶数，则结论不成立．例如 n=2m 个人站成两...
