《根本不等式》教学设计教材：人教版高中数学必修 5 第三章一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个根本不等式，了解根本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善根本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对根本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究根本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例 1 尝试用根本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 与其变式引导学生领悟运用根本不等式的三个限制条件〔一正二定三相等〕在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探究不等式 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出根本不等式，并理解根本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是 2024 年在召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家爽的“弦图〞设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，表达了以形证数、形数统一、代数和几何是严密结合、互不可分的．探究一：在这“弦图〞中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有 4 个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4 个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．探究二：先将两正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形〔两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余局部折叠〕．假设两个正方形的面积分别为和〔〕，考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探究发现：2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：假设，那么．假设，那么．学生探讨等号取到情况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：〔1〕假设，那么；〔2〕假设，那么请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一〔作差法〕：，当时取等号．〔在该过程中，可发现的取值可以是全体实数〕证法二〔分析法〕：由于，于是要证明 ，只要证明 ， 即证 ，即 ，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课...
