例谈目标函数中变量的选择孔祥武（##省##市第一中学 ， 213003）我们在解析几何中求最值 X 围时,常常需要构建合适的目标函数,把问题转化为函数的最值问题.解题的关键是分析引起函数值变动的原因，这个原因可能是某条线段的长度变化引起的，可能是某条直线的斜率变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引起的，等等．“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度看问题，选择不同的变量,会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我们需要多维度思考,选择合适的变量.下面介绍几个例子来说明问题.1选择点的坐标作变量例 1 （##市 2024 年高三调研测试）如图 1，在平面直角坐标系中，椭圆 C：（）的左焦点为，右顶点为 A，动点 M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为，点 M 的横坐标为．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线的斜率为，直线 MA 的斜率为，求的取值 X 围．分析 斜率乘积的变化可看作是由点的坐标变化引起的．我们习惯先设点，进而直线与椭圆联立, 解出交点的坐标，可以预见表达式非常复杂；若改变这种既定的顺序，先设点，再求点，则巧妙避开了直线与椭圆联立的繁琐过程． 解 （1）椭圆 C 的标准方程为(过程略)． （2）设点（），点 M ， 因为点、P、M 三点共线， 所以，即， 故 点 M ． 又，， 则==． 因为点 P 在椭圆 C 上， 所以， 即．M A P FOx y 图 1 ===，（）， 则, 所以的取值 X 围是． 值得一提的是选择点的坐标作变量有时带有轨迹的思想,可先求出满足限制条件的点的轨迹方程,然后再求解最值问题.例 2 已知圆与轴相交于两点，圆内一动点使、、成等比数列，求的 X 围.分析 向量数量积的变化可看作是由点的坐标变化引起的,同时设坐标入手更容易表达点在圆内的特征和处理向量点乘.解 设点，则 ①易知,,，，由成等比数列得 ，，即 整理得 , 即 ②由①②得 ，，所以.2 选择线段的长度作变量例 3 求满足条件的三角形的面积最大值. 分析 面积表达式中既含有边又涉及角,需要消元,统一成一个变量来处理.解 设，则 ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，=,由三角形三边关系有, 解得，故当时,取得最大值.评注 本题亦可以点的坐标为变量,以的中点建立合适的坐标系,得出的轨迹方程为,然后再求三角形面积最大值.3选择直线的斜率作变量设直线斜率入手多适用于两直线相互垂直或倾斜角互补,或过定...
