矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。若矩阵 A 可以经过有限次初等变换化为 B，则称矩阵 A 与B 等价，记为。2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。(二)合同：1、概念,两个 n 阶方阵 A,B，若存在可逆矩阵 P，使得成立，则称A，B 合同，记作该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件：矩阵 A,B 均为实对称矩阵，则二次型与有相等的 E 负惯性指数,即有相同的标准型。（三）相似1、概念：n 阶方阵 A，B，若存在一个可逆矩阵 P 使得成立,则称矩阵 A,B 相似,记为。2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：① 充分条件:矩阵 A,B 有相同的不变因子或行列式因子.② 充要条件:二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵 ，1、若向量组（）是向量组（）的极大线性无关组,则有，即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵 B 与 A 亦不同型，虽然但不能得出。2、若 m=n，两向量组（）(）则有矩阵 A，B 同型且。3、若两向量组秩相同，两向量组等价,即有综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推.(二）、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系 ① 相似等价：A,B 同型且 ② 合同等价：同型且 ③ 相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若 A，B 均为实对称矩阵，则有 A,B 一定可以合同于对角矩阵当时，二次型与有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数即有Ⅱ、存在一个正交矩阵 P，即使得即则有 即有Ⅲ、若 A，B 实对称,且存在一个正交矩阵 P，则时有 Ⅳ、、、下面讨论时成立的条件.由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵 P 时，有,则记则此时即 P 为正交矩阵时,由（三)1、矩阵等价:① 同型矩阵而言 ② 一般与初等变换有关 ③ 秩是矩阵等价的不变量，同次,两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似:① 针对方阵而言 ② 秩相等是必要条件 ③ 本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵 ② 秩相等是必需条件 ③ 本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同 由以上...
