资料锥曲线的第三定义及运用椭圆和双曲线的第三定义在椭圆 C：S+b=°）中’A、B 是关于原点对称的两点’P 是椭圆上异于 A、B 的一b2点’右 k、k 存在’则有：k•kPAPBPAPBa2b2证明：构造 APAB 的 PA 边所对的中位线 MO,k=k，由点差法结论：k•k=e2-1=-b-PAMOMOPBa2x2y2在双曲线 CF-厉=1 中 AB是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于 A、B 的—点若仁、kpBb2存在’则有：k•k=e2—1=-PAPBa2证明：只需将椭圆中的 b2全部换成—b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。1.椭圆y2知此结论成立。资料二、与角度有关的问题例题一:已知椭圆 C：-—+b.=i(aAbA0)的离心率 e—^2，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲解答：令 PB=丫，由椭圆第三定义可知：tanItany=e2-1=-1cos 卩 cos(y-a)cosycosa+sinysina1+tana•tany3cos(2a+卩)cos(y+a)cosycosa+sinysina1-tana•tany5点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为资料正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆资料变式 1-1：（石室中学 2015 级高二下 4 月 18 日周末作业）已知双曲线 C：x2-y2=2015 的左右顶点分别为 A、B,P 为双曲线右支一点，且 ZPAB=4ZAPB,求ZPAB=.解答：令 ZPAB=ae0 迈，ZPBA=Pe0 迈，则 B=5a，由双曲线的第三定义知：tana•tanB=tana•tan5a=e2一 1=1兀 L 兀na=—一 5ana=——212与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示sina=cosp,cosa=sinpn 两角互余☆，则可解出 a 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题例题 2：已知 AB 是椭圆勒+辛=10）长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x轴对称的两1tan5a =tan2资料点直线 AM、BN 的斜率分别为 k、k 且 kk 丰 0。1212若|kJ+|k2|的最小值为「则椭圆的离心率为资料解答一（第三定义+均值）：解答二（特殊值法）：这道题由于表达式tkl+lkI〉=1非常对称，则可直接猜特殊点求解。k1=lk1=时可取最值，12min122则 M、N 分别为短轴的两端点。此时：|k|=|^|=b=*——e=f。点评：对于常规解法，合理利用 M、N 的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造...
