与圆有关的几何综合题 (·德阳)如图，已知 BC 是⊙O 的弦，△ABC 为正三角形，D为 BC 的中点，M 是⊙O 上一点，并且∠BMC＝60°.(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若 E、F 分别是 AB、AC 上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为 2，试问 BE＋CF 的值与否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请阐明理由．【思绪点拨】 (1)连接 OB，证 OB⊥AB 即可；(2)取 AB 的中点G，连接 DG，易证得△EGD≌△FCD，从而猜测出 BE＋DF 的值是个定值，这个定值应当等于 AB 长的二分之一．【解答】 (1)证明： △ABC 为正三角形，D 为 BC 的中点，∴OD⊥BC，AO 平分∠BAC.∴∠BAD＝30°. ∠BMC＝60°，∴∠BOA＝∠BMC＝60°.∴∠BAD＋∠BOA＝90°.∴∠ABO＝90°.∴OB⊥AB. OB 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2) ∠BAD＝30°，OB⊥AB，OB＝2，∴AB＝2.取 AB 的中点 G，连接 DG，∴AG＝BG＝. ∠ABD＝60°，∴△BDG 是等边三角形．∴∠DGE＝60°，GD＝BD. ∠FCD＝60°，CD＝BD，∴∠FCD＝∠EGD，GD＝CD. ∠EDF＝120°，∴∠FDC＋∠BDE＝60°. ∠BDG＝60°，∴∠EDG＋∠BDE＝60°.∴∠EDG＝∠FDC.∴△EGD≌△FCD.∴FC＝EG.∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝.即 BE＋CF 的值是定值，这个值是.动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含有关角度、线段、面积等定值问题．处理此类问题时，要弄清图形的变化过程，对的分析变量与其他量之间的内在联络，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几种符合条件的草图也是处理问题的好措施． 1．(·内江)如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O 通过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上．(1)试阐明 CE 是⊙O 的切线；(2)若△ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表达⊙O 的直径AB；(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点)，连接 OD，当 CD＋OD的最小值为 6 时，求⊙O 的直径 AB 的长．2．(·乐山)已知 RtABC△中，AB 是⊙O 的弦，斜边 AC 交⊙O 于点D，且 AD＝DC，延长 CB 交⊙O 于点 E.(1)图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，与否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请阐明理由；(2)如图 2，过点 E 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F.① 若 CF＝CD 时，求 sin∠CAB 的值；② 若 CF＝aCD...
