D 单元 数列D1 数列的概念与简单表达法17．D1、D4、D5[·江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令 cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若 bn＝3n－1，求数列{an}的前 n 项和 Sn.17．解：(1)由于 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，因此－＝2，即 cn＋1－cn＝2，因此数列{cn}是以 c1＝1 为首项，d＝2 为公差的等差数列，故 cn＝2n－1.(2)由 bn＝3n－1，知 an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前 n 项和 Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，因此 Sn＝(n－1)3n＋1.17．D1、D2[·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ 为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)与否存在 λ，使得{an}为等差数列？并阐明理由．17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于 an＋1≠0，因此 an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4，故 an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1.因此 an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列．17．D1、D3、D5[·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜.17．解：(1)由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋＝3.又 a1＋＝，因此是首项为，公比为 3 的等比数列，因此 an＋＝，因此数列{an}的通项公式为 an＝.(2)证明：由(1)知＝.由于当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1，因此≤，即＝≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.因此＋＋…＋<.22．D1，D2，M3[·重庆卷] 设 a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若 b＝1，求 a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若 b＝－1，问：与否存在实数 c 使得 a2n
