第炼函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述：(1)f(a-x)=f(a+x)o.f(x)关于 x=a 轴对称(当 a=0 时，恰好就是偶函数)(2)f(a-x)=f(b+x)oja+bf(x 丿关于 x=—轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如 f(a-x)=f(b+x)的等式只需注意两点，一是等式两侧 f 前面的符号相同，且括号内 x 前面的符号相反；二是 a,b 的取值保证 x=字为所给对称轴即可。例如：f(x)关于 x=1 轴对称 nf(x)=f(2-x，或得到 f(3-x)=f(-1+x)均可，只是在求函数值方面，一侧是 f(x)更为方便(3)f(x+a)是偶函数，则 f(x+a)=f(-x+a)，进而可得到：f(x)关于 x=a 轴对称。① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 f(x+a)中,x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的 x 取相反数时，函数值相等，即 f(x+a)=f(-x+a)，要与以下的命题区分：若 f(x)是偶函数，则 f(x+a)=f[-(x+a)]:f(x)是偶函数中的 x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 f(x+a)=f[-(x+a)]② 本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是偶函数，则 f(x+a)关于 x=0 轴对称,而 f(x)可视为 f(x+a)平移了 a 个单位(方向由 a 的符号决定)，所以 f(x)关于 x=a对称。在已知对称中心的情况下，构造形如 f(a-x)=-f(b+x)的等式同样需注意两点，一是等式两侧 f和 x 前面的符号均相反；二是 a,b 的取值保证 x=筈纟为所给对称中心即可。例如：f(X)关于(-1,b 中心对称 nf(x)=—f2-L,或得到 f(3-x)=-f(-5+x)均可，同样在求函数值方面，一侧是f(x)更为方便(3)f(x+a)是奇函数，则 f(x+a)=—f(-x+a)，进而可得到：f(x)关于(a,0)中心对称。① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在 f(x+a)中,x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的 x 取相反数时，函数值相反，即 f(x+a)=f(-x+a)，要与以下的命题区分：若 f(x)是奇函数，则 f(x+a)=-f_-(x+a)]：f(x)是奇函数中的 x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 f(x+a)=-f[-(x+a)]② 本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是奇函数，则 f(x+a)关于(0,0)中心对称，而f(x)可视为 f(x+a)平移了|a|个单位(方向由 a 的符号决定)，所以 f(x)关于(a,0)对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具...
