百 思 得 教 育 - 1 - 立 体 几 何 中 的 外 接 球 问 题 概 述 ① 长 方 形 的 外 接 圆 圆 心 为 对 角 线 的 中 点 ，222abR( ,a b 为 长 方 形 的 长 、宽 ）。 长 方 体 的 外 接 球 球 心 为 体 对 角 线 的 中 点 ，222 ( , ,2abcRa b c为 长方 体 的 长 、 宽 、 高 ）。 ② 三 角 形 的 外 接 圆 圆 心 是 底 边 的 中 垂 线 的 交 点 ， 外 接 圆 半 径 可 由 ， 余 弦 定理 求 得 2sinarA； 等 边 三 角 形 的 外 心 是 高 的 三 等 分 点 （ 靠 底 边 ）； 直 角 三角 形 的 外 心 是 斜 边 中 点 。 ③ 三 棱 锥 或 其 它 几 何 体 ， 其 外 接 球 球 心 一 定 在 过 面 的 外 心 且 与 该 面 垂 直 的垂 线 上 。 ④ 过 球 心 的 截 面 截 得 的 圆 是 大 圆 。 ⑤ 勾 股 定 理 、 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 射 影 定 理 、 面 积 法 、 体 积 法 等 平 面 几何 性 质 灵 活 应 用 。 1.圆 柱 、 直 棱 柱 、 一 侧 棱 垂 直 底 面 的 棱 锥 设 底 面 外 接 圆 半 径 为 r ， 高 为 h ， 则 外 接 球 半 径224hRr， 见 截 面 图 中'Rt OAO。 2、 圆 锥 、 各 侧 棱 都 相 等 的 棱 锥 （ 包 括 正 三 棱 锥 、 正 四 棱 锥 ） 百 思 得 教 育 - 2 - 设 底 面 外 接 圆 半 径 为 r ， 高 为 H ， 则 外 接 球 半 径222HrRH， 截 面 图 中1Rt OAO勾 股 定 理 解 得 。 222222HrRHRrRH。 3、 等 腰 四 面 体 补 成 长 、 宽 、 高 分 别 为, ,x y z的 长 方 体 ， 则 2222222222222222xybabcxzcxyzzya 外 接 球 半 径222222222xyzabcR。 注 ：（ 1） 棱 长 为 a 的 正 四 面 体 外 接 球 半 径2226422aaaaR； （ 2） 从 某 顶 点 出 发 ， 三 棱 长 为, ,a b c 的 直 角 三 棱 锥 外 接 球 半 径2222abcR。 补 体 法 ：（ 1） 正 四 面 体 ；（ 2） 等 腰...
