立体几何外接球及内切球问题

1 / 13 立 体几何外接球及内切球问题 一、球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图 1 所示，正方体1111DCBAABCD ,设正方体的棱长为a ，GHFE,,,为棱的中点，O 为球的球心。 常见组合方式有三类： 一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFHG和其内切圆，则2arOJ； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFHG 和其外接圆，则aROG22； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11 AACC和其外接圆，则23'1aROA. 例 1： 棱长为 1 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为 .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCDA B C DOEF，1AA1DDEFO2212122, , ,a b cl222 .22labcR2 / 13 部分的体积为( ) A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱： ①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多. 本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111CBAABC 的高为h，底面边长为a； 如图 2 所示， D 和1D 分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点 O，aADRAOhOD33,,2，借助直角三角形 AOD的勾股定理，可求22332ahR。 (注：底面三角形不是特殊三角形时：可利用正弦定理得到三角形外接圆半径) 例 3 ：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最大值为______________. 2 . 球与锥体 2.1 球与正四面体 1111ABCDA B C DR3 / 13 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系. 如图4，设正四面体ABCS 的棱长为a ，内切球半径为r，外接球的半径为，取AB 的中...