1 圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图 1 所示，正方体1111DCBAABCD ,设正方体的棱长为 a，GHFE,,,为棱的中点，O为球的球心。 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFHG和其内切圆，则2arOJ； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFHG和其外接圆，则aROG22； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11 AACC和其外接圆，则23'1aROA. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。 例 1 棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D的8 个顶点都在球O的表面上，EF， 分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线 EF 被球O截得的线段长为（ ） A．22 B．1 C．212 D．2 2 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为, , ,a b c 其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 .22labcR 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4 的长方体内有一个半径为1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱111CBAABC 的高为h，底面边长为a，如图2 所示，D和1D 分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中 点O ，aADRAOhOD33,,2，借 助 直 角三 角形 AOD 的勾 股 定理，可求22332ahR。 3 例3 正四棱柱1111ABCDA B C D的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然...
