全国高中数学联合竞赛(B 卷)全国高中数学联赛（B 卷）一、填空题：本大题共 8 小题，每题 8 分，满分 64 分.1.设集合，，则的所有元素之和是______.2.已知圆锥的顶点为，底面半径长为，高为 .在圆锥底面上取一点，使得直线与底面所成角不不小于，则满足条件的点所构成的区域的面积为_____.3.将随机排成一行，记为，则是奇数的概率为_____.4.在平面直角坐标系中，直线 通过原点，是 的一种法向量.已知数列满足：对任意正整数，点均在 上.若，则的值为______.5.设满足，，则的值为______.6.设抛物线的准线与轴交于点，过点作一直线 与抛物线相切于点，过点作 的平行线，与抛物线交于点，则的面积为______.7.设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为______.8.已知复数满足，其中 是给定实数，则的实部是______（用具有 的式子表达）.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.9.（本题满分 16 分）已知数列.求满足的最小正整数.10.（本题满分 20 分）已知定义在上的函数为设是三个互不相似的实数，满足，求的取值范围.11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系中，与分别是椭圆的左、右顶点与上、下顶点.设是上且位于第一象限的两点，满足，是线段的中点，射线与椭圆交于点.证明：线段能构成一种直角三角形.加试（B 卷）一、（本题满分 40 分）设是实数，函数.证明：存在，使得二、（本题满分 40 分）如图所示，在等腰中，，边上一点及延长线上一点满足，以为直径的圆与线段交于一点.证明：四点共圆.（答题时请将图画在答卷纸上）三、（本题满分 50 分）设集合，均为的非空子集（容许）.中最大元与中的最小元分别记为.求满足的有序集合对的数目.四、（本题满分 50 分）给定整数.证明：对任意正整数，存在正整数，使得持续个数均是合数.
