第四章 连通性 一、教学目的与要求 本章要求学生掌握的概念有： 连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。 二、教学重点与难点 教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。 教学难点：连通性和局部连通性。 三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划／实际） 课时数 课程类型／教学方法 6.1 , 、Hausdorff 空间 0T1T2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3 选讲) 3T4T2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间 2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间 1／2 理论／讲授四、教学过程 §4 ．1 连通空间 通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出 定义 4 .1 .1 设 A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ()()ABBAφ∩∪∩= 则称子集A 和B 是隔离的． 注：此处应说明子集A 和B 是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用． 性质1 . X 中两个无交的闭集是隔离的. 性质2 . X 中两个无交的开集是隔离的． 性质3 . 若 C、D 分别是隔离子集A、B 的子集，则C 和D 也是隔离的. 例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？ 定义 4 .1 .２ 设 X 是一个拓扑空间．如果 X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得XAB=∪，则称X 是一个不连通空间；否则，则称 X 是一个连通空间． 例：平庸空间都是连通空间，而多于一点的离散空间是不连通空间． 考察不连通空间的性质，从而给出不连通空间的几个等价条件． 定理4 .1 .１ 设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （１） X 是一个不连通空间； （２） X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 ABφ∩=和 ABX∪=成立； （３） X 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 ABφ∩=和 ABX∪=成立； （４） X 中存在着既开又闭的非空真子集． 例：有理数集作为实数空间QR 的子空间是一个不连通空间． 定理4 .1 .２ 实数空间R 是一个连通空间． 由定理4.1.２的证明过程可以看出，有必要进...
