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数学研究课题--空间几何体的外接球与内切球问题分析研究VIP专享VIP免费

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数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题例1.用两个平行平面去截半径为的球面,两个截面圆的半径为,.两截面间的距离为,求球的表面积.分析:此类题目的求解是首先做出截面图,再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形,利用方程思想计算可得.解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于,上述大圆的垂直于的直径交于,如图2.设,则,解得..说明:通过此类题目,明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题,进一步熟悉有关圆的基础知识,熟练使用方程思想,合理设元,列式,求解.例2.自半径为的球面上一点,引球的三条两两垂直的弦,求的值.分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.解:以为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.=.说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.例3.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小.分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关系.解:设球的半径为,正方体的棱长为,它们的体积均为,则由,,由得...,即.说明:突出相关的面积与体积公式的准确使用,注意比较大小时运算上的设计.例4.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之比.分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的.解:如图,正四面体的中心为,的中心为,则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离.设,正四面体的一个面的面积为.依题意得,又即.所以..说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径(为正四面体的高),且外接球的半径.例5半径为的球内接一个各棱长都相等的四棱锥.求该四棱锥的体积.分析:四棱锥的体积由它的底面积和高确定,只需找到底面、高与球半径的关系即可,解决这个问题的关键是如何选取截面,如图所示.解: 棱锥底面各边相等,∴底面是菱形. 棱锥侧棱都相等,∴侧棱在底面上射影都相等,即底面有外接圆.∴底面是正方形,且顶点在底面上的射影是底面中心,此棱锥是正棱锥.过该棱锥对角面作截面,设棱长为,则底面对角线,故截面是等腰直角三角形.又因为是球的大圆的内接三角形,所以,即.∴高,体积.说明:在作四棱锥的截面时,容易误认为截面是正三角形,如果作平等于底面一边的对称截面(过棱锥顶点,底面中心,且与底面一边平行),可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形,但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形.可见,解决有关几何体接切的问题,如何选取截面是个关键.解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长(或高或某个截面内的元素)与球半径的关系,再进一步求解.例6在球面上有四个点、、、,如果、、两两互相垂直,且.求这个球的表面积.分析:,因而求球的表面关键在于求出球的半径.解:设过、、三点的球的截面半径为,球心到该圆面的距离为,则.由题意知、、、四点不共面,因而是以这四个点为顶点的三棱锥(如图所示).的外接圆是球的截面圆.由、、互相垂直知,在面上的射影是的垂心,又,所以也是的外心,所以为等边三角形,且边长为,是其中心,从而也是截面圆的圆心.据球的截面的性质,有垂直于⊙所在平面,因此、、共线,三棱锥是高为的球内接正三棱锥,从而.由已知得,,所以,可求得,∴.说明:涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题,一般作其轴截面;涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题,一般过球心及多面体中特殊点或线作截面,把空间问题化为平面问题,进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系.例7已知棱长为3的正四面体,、是棱、上的点,且,.求四面体...

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