本课内容本节内容2.2——2.2.2圆周角圆心角、圆周角观察下图中的∠BAC，可以发现它的顶点A在圆上，它的两边都与圆相交，像这样的角叫作圆周角.我们把∠BAC叫作所对的圆周角，叫作圆周角∠BAC所对的弧.BC︵BC︵圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共青团团旗上的图案抽象出如下图所示的图形，该图形中就有许多圆周角.分别测量下图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？探究每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？BC︵与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系.你能证明这个猜测吗？通过度量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.通过度量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.下面我们来证明这个猜测是真的.求证：∠BAC=∠BOC.12已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.BC︵情形一圆周角的一边通过圆心.如右图所示，圆O中，由于OA=OC，圆心O在∠BAC的一边AB上.从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，因此∠C=∠BAC，即∠BAC=∠BOC.12在画图时，可以发现圆心O与圆周角的位置关系有以下三种情形：情形二圆心在圆周角的内部.如右图，圆心O在∠BAC的内部.作直径AD，根据情形一的结果得∠BAD=，∠DAC=.=，=.12BOD∠12DOC∠12BOD+DOC(∠∠)12BOC∠从而∠BAC=∠BAD+∠DACDA情形三圆心在圆周角的外部.如图，圆心O在∠BAC的外部.你能证明∠BAC=∠BOC吗？12由此得到圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.结论动脑筋如图，∠C1，∠C2，∠C3都是所对的圆周角，那么∠C1=∠C2=∠C3吗？AB︵在下图中，连接AO，BO，则∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB.由圆周角定理，可知∠C1=∠C2=∠C3.结论在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.由此得到以下结论：如图所示，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC的度数.举例例2圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为， 解AB︵∠ACB=∠AOB=25°.12∴同理∠BAC=∠BOC=35°.12练习答：（1）、（2）是圆周角，（3）、（4）不是圆周角，因（3）、（4）不满足圆周角定义，角顶点没在圆上.1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由.（1）（2）（3）（4）2.如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M.若∠CAB=25°，∠ABD=95°，试求∠CDB和∠ACD的度数.圆周角∠ACD与圆周角∠ABD所对的弧均为， 解：AD︵∠ACD=∠ABD=95°.∴同理∠CDB=∠CAB=25°.3.如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB.若∠OBA=25°，求∠BOC的度数.圆周角∠BAC与圆心角∠BOC所对的弧均为， BC︵∠BOC=2∠BAC=50°.∴解 AC∥OB，∠OBA=25°，∠BAC=∠OBA=25°.∴在下图中，AB是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？动脑筋因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°.故∠C1=∠C2=∠C3=×180°=90°.因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°.故∠C1=∠C2=∠C3=×180°=90°.12在下图中，若已知∠C1=90°，它所对的弦AB是直径吗？结论直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.由此得到以下结论：如图所示，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°，点D在⊙O上.求∠ADB的度数.举例例3BC为直径， 解∠C=30°.∴∴∠ADB=∠C=30°.又∠ABC=60°，∴∠BAC=90°.∠ADB与∠C都是所对的圆周角，又 AB︵如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.动脑筋在下图的四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？如下图所示...
