数值分析大作业实验3.１Ｇauss消去法的数值稳定性实验实验目的:理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不定性实验内容：求解方程组Ａｘ=b，其中（1)A1=[0.3×10−1559.14315.291−6.130−1211.29521211]，b1＝[59.1746.7812]；(2)Ａ２=[10−701−32.099999999999625−15−10102],b２=[85.90000000000151];实验要求：(1)计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的（2)用Gaｕsｓ列主元消去法求得Ｌ和U及解向量x1，x2∈R4(3)用不选主元的高斯消去法求得~L和~U及解向量~x1,~x2∈R4(４)观察小主元并分析对计算结果的影响(1)计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的代码:formａtlonｇｅｆｏrmａtcomｐactA1＝[0.３*10^-15,５9．１4,3,１;5.２91,-6.１3０,-1,2;11.2,9,5,2；1,2,１,1]ｂ1=［59.17;46.7８；1;2]ｎ=4Ｃ1=cｏnｄ(Ａ1,1)％Ｃ1为A1矩阵１范数下的条件数C2=ｃond(A１,2)%C2为A1矩阵２范数下的条件数C3=ｃonｄ(A1,ｉnf)％Ｃ３为1矩阵谱范数下的条件数结果：C１=1．36２94４７0872044８e＋0２C2=6.８４2９５5７7１２534０9e+0１Ｃ3=8.４31146０2０51８0０1ｅ+01显然Ａ1矩阵为病态矩阵将矩阵Ａ2,b2输入上述代码中求得A2矩阵的条件数为：Ｃ１=1.9283１６83168２894ｅ+01C2=8.99393８０９017０１1９e+０0C3=1.８３56４３５6435６0７2ｅ+01显然A2矩阵也为病态矩阵(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x１，x2∈R4代码:ｆorｋ=1:n－１a＝maｘ(abs(A1(k:n,k)))iｆa==0ｒeｔurneｎｄfoｒi=k:nifabs（Ａ１(i，k)）==ay=A1(ｉ，:)A1(ｉ，:）＝A１(k，:)A1(ｋ,:）=yx=b1(i,:)b1(ｉ，:)＝b1(k,:)b1(k，：）=xbｒeakeｎｄendifＡ1(k,ｋ）~=0A１(k＋1:n，ｋ)=A１(k+1:ｎ,ｋ）/A1(ｋ,ｋ）A1（k+1:n,k+1:ｎ)=A1(k+1:n，k+1:n)-A1(k+1:n,ｋ)＊A1(k,k＋１:ｎ)ｅｌsｅｂreａｋeｎdｅｎdL=tｒiｌ(A1,0);fori＝１:ｎL(ｉ,ｉ)＝1;enｄLＵ=tｒiｕ(A１,0)y1=Ｌ\b1x1=Ｕ\y1得到如下结果：ｘ１=3．８45７1４853511６34e+001.6０9517３９4７７8522e+0０－１.54７60５454206６55ｅ＋011.041１3048989９78７e+01将A２=[1０,-7,0，１;－3，２.0９999999999９,6，2;5,-１,5,-１;0,１，０,2]b2＝[8；5.90０000000００１;5;1]代入上述代码求得结果如下：Ｘ２=4．４40８9209850062６e-16-９．99999９９99999993e-01９．９99９９９99999９997ｅ-011.0００000000000000e＋00(3)用不选主元的高斯消去法求得~L和~U及解向量~x1,~x2∈R4代码：ｆormａtlongeformatcｏmpａｃtA1=[0．3*10^-１5,59.1４,3,1;5.291,-６．130,－1,2;1１.2，9,5,2；1,２，1,1]ｂ1=[５9．１７;46.７8;1;2][L,U］=lu(A１)y1=L＼b１x1=Ｕ\y1求得如下结果:~x1＝３.845７1４８53５1１634e＋001.609517394７7８５２２e+00－1.５4760545４２０66５5e+01１.0411304８９８９9787ｅ+０1将A2=[10,－7,0,1；-3,２.099９99９99９99,6,2;5,-１，5,-1；０，1,０,2]b2=[8;5.9００000０0０0０1;５;1］代入上述代码，求得结果如下：~x2=4.４40892０９850０626ｅ-16－9.999999999９99９9３ｅ－019．９９999999９999997e-0１9.99999９9９99999９9e-０1（2）(３)求得结果相同,可验证结果正确。(4）观察小主元并分析对计算结果的影响实验结果表明,小主元的存在对计算结果影响较大。小主元的存在会使得计算结果有较大的误差。实验3．2方程组的性态和条件数实验实验目的：理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响。实验内容：已知两个方程组A1x＝b和Ａ２x=b,其中:A１=[1x0x02…x0n1x1x12…x1n1x2x22…x2n……………1xnxn2…xnn],Ａ２=[11/21/3…1/n1/21/31/4…1/(n+1)1/31/41/5…1/(n+2)……………1/n1/(n+1)1/(n+2)…1/(2n−1)]b=[∑j=1na1j,∑j=1na2j,…∑j=1na1nj,]T实验要求：对A1，取xk=1＋0.1k,k=0,1,…，n，下面均用Matlab函数“ｘ=A／b”计算方程组的解。(１）取n＝4,６,8，分别求出A1，Ａ2的条件数，判别它们是否是病态阵?随ｎ的增大，矩阵性态的变化如何？代码：ｆormatshｏｒteformatｃｏmpａcｔA1=[１,１,1,1,1;1,1.1,1.1^2，１．1＾3,1．1^4；1,1.2,1.2^2,1.2^3，１.２^４;１,１.3,1.3^2,１．3^３,１.3^4;１，1．4...
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