不确定性推理证据理论D-S理论证据理论是由德普斯特(A.P.Dempster)提出，并由沙佛(G.Shfer)进一步发展起来的一种处理不确定性的理论。也称为D-S理论。其将概率的单点赋值扩展为集合赋值，弱化了公理系统。处理由不知道引起的的不确定性。概率分配函数定义4-1：设Ω是样本集，则由Ω的所有子集构成的集合称为Ω的幂集，记为2Ω。例：设Ω={红，黄，白}，求Ω的幂集2Ω解：Ω的幂集元素为Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}。概率分配函数定义4-2：设函数m:2Ω→[0,1]，且满足m(Φ)=0∑A⊆Ωm(A)=1称m是2Ω上的概率分配函数，m(A)称为A的基本概率数。概率分配函数例：为上一个例子定义一个概率分配函数。解：m(Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白})={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}概率分配函数的两点说明概率分配函数将样本空间中的任意子集映射到［０，１］的一个数。–当子集是一个元素时，表示对此元素的精确信任度，也是对子集的精确信任度。–当子集是多个元素时，表示对子集的精确信任度，但不清楚子集中每个元素的信任度。–当子集是样本空间时，不知道如何将信任度分配给每个元素。概率分配函数的两点说明–如例中A={红}，m({红})=0.3表示对红的精确信任度是0.3；A={红，黄，白}，m({红，黄，白})=0.2表示这些信任度不知道如何分配给集合中的元素。概率分配函数不是概率。不满足概率的归一性。信任函数定义4-3：信任函数(Belieffunction)Bel:2Ω→[0,1]为对任给的A⊆ΩBel(A)=∑B⊆Am(B)Bel函数又称为下限函数，表示对A的总的信任度。信任函数接前例：Bel(Φ)=0Bel({红})=0.3Bel({红,白})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({红,白})=0.3+0.1+0.2=0.6Bel({红,白,黄})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({黄})+Bel({红,白})+Bel({红,黄})+Bel({黄,白})+Bel({红,黄,白})=1信任函数Bel(Φ)=m(Φ)=0Bel(Ω)=∑B⊆Ωm(B)=1似然函数定义4-4：似然函数(Plausibilityfunction)Pl(A):2Ω→[0,1]对任给的A⊆ΩPl(A)=1-Bel(¬A)似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。表示对A非假的信任度。似然函数接前例：Pl({红})=1-Bel(¬{红})=1-Bel({黄,白})=1-Bel({黄})-Bel({白})-Bel({黄,白})=0.9Pl({黄,白})=1-Bel(¬{黄,白})=1-Bel({红})=0.7似然函数可以证明Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)∑{红}∩B≠Φm(B)=m({红})+m({红,白})+m({红,黄})+m({红,白,黄})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9∑{黄,白}∩B≠Φm(B)=m({黄})+m({白})+m({红,黄})+m({白,黄})+m({红,白})+m({红,白,黄})=0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7似然函数Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(¬A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-(Bel(¬A)+∑A∩B≠Φm(B))=1-(∑B⊆¬Am(B)+∑A∩B≠Φm(B))=1-∑B⊆Ωm(B)=0∴Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)信任函数与似然函数的关系定理4-1：信任函数与似然函数有如下关系：对任给的A⊆Ω有Pl(A)≥Bel(A)证明： Bel(A)+Bel(¬A)=∑B⊆Am(B)+∑C⊆¬Am(C)≤∑B⊆Ωm(B)=1信任函数与似然函数的关系又 Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(¬A)-Bel(A)=1-(Bel(¬A)+Bel(A))≥0∴Pl(A)≥Bel(A)使用信任函数与似然函数Bel(A)：表示A为真的信任度，为信任度下限。Pl(A)：表示A为非假的信任度，为信任度的上限。使用信任函数与似然函数表示事物的不确定性可以由事物的这两个函数值来描述，例如{红}{红}：[0.3,0.9]表示{红}的精确信任度为0.3，不可驳斥部分为0.9，而肯定不是{红}的为0.1典型值的含义A[0,1]：说明对A一无所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1,说明对A没有信任，对¬A也没有信任。A[0,0]：说明A为假。Bel(A)=0,Pl(A)=0，Bel(¬A)=1。A[1,1]：说明A为真。概率分配函数的正交和定义4-5：设m和n是两个不同的概率分配函数，其正交和m⊕n满足m⊕n(Φ)=0m⊕n(A)=K-1X∑x∩y=Am(x)Xn(y)其中K=1-∑x∩y=Φm(x)Xn(y)概率分配函数的正交和设m1,m2,…,mn是n个不同的概率分配函数，其正交和m1⊕m2⊕,…,⊕mn满足m1⊕m2⊕,…,⊕mn(Φ)=0m1⊕m2⊕,…,⊕mn(A)=K-1X∑∩Ai=A∏1≤i≤nmi(Ai)其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤nmi(Ai)概率分配函数的正交和例：设样本空间Ω={a,b},从不同的知识来源得到的概率分配函数分别为：m1(Φ,{...
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