交互作用双因子方差分析解析VIP专享VIP免费

第二节双因素方差分析双因素方差分析的类型数据结构离差平方和的分解应用实例一、双因素方差分析的类型例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该生产线。双因素方差分析的类型无交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应设因素A有r个不同的水平rAA,,1，因素B有s个不同的水平sBB,,1，现对因素A、B的每一种不同的水平组合:jiBA,sjri,,2,1;,,2,1都安排2tt次试验（称为等重复试验），假定各次试验是相互独立的，得到如下试验结果：二、数据结构1B2B……sB1Atxxx11112111,,,txxx12122121,,,……stssxxx12111,,,2Atxxx21212211,,,txxx22222221,,,……stssxxx22212,,,……………………rAtrrrxxx11211,,,trrrxxx22221,,,……rstrsrsxxx,,,211.双因素方差分析的数据结构如表所示：在水平组合jiBA,下的t次试验，由于所有可控制因素均没有发生变化，试验结果ijtijijxxx,,,21的差异纯粹是由随机因素引起的，故可将数据ijtijijxxx,,,21看成是来自正态总体2,~ijijuNX（6.19）的t个样本观测值.对不同的水平组合jiBA,，假定各总体的方差相等，但均值iju可能存在差异。2.双因素试验的方差分析的数学模型,1,2(1,2ijijijXuirAjsB因素的水平），因素的水平，2(0,)ijN相互独立同分布111rsijijuurs记：——理论总均值11siijjuuAis记：—因素在水平下的理论平均11rjijiuur记：—因素B在j水平下的理论平均uuuuuuuuuujiijjiij显然iAiA它是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；=iiuu记：=jjuu记：jBjB它是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；ijijijruuuu记：jiijuuijruuijiAijBjjiBA,所以是总效应减去的效应和的效应后的剩余部分，称为水平组合的交互效应。于是2,~ijijuNX可以等价的表示为：2,0~NuuXijijijjiijijij，sjri,,2,1;,,2,1这表明，在因素BA,的不同水平组合下，试验结果的相对差异uuij（视为总效应）是由如下四部分组成：（1）水平iA下的效应i；（2）水平jB下的效应j；（3）水平组合jiBA,的交互效应ij；（4）随机因素引起的随机波动ij.011111ruusuurisjijriirii011111suuruusjriijsjjsjj11=0rrijijijiiuuuu11=0ssijijijjjuuuu因此，要鉴别因素A是否对结果有显著影响，只需鉴别因素A水平的改变是否导致试验结果的明显变化，这等价于检验因素A各水平的效应是否相等，即检验假设rH2101:（6.28）是否成立。类似地，要鉴别因素B是否对结果有显著影响，等价于检验假设sH2102:（6.29）是否成立。要鉴别因素A与因素B是否存在交互效应，等价于检验假设ijH:03sjri,,2,1;,,2,1全相等（6.30）是否成立。由于011111ruusuurisjijriirii，因此，如果01H成立，那么因素A各水平的效应必皆为0.类似地，由011111suuruusjriijsjjsjjrijiijriijuuuu1101jjrijijruruuusjjiijsjijuuuu1101iisjiijsusuuu所以，如果02H成立，那么因素B各效应的水平皆为零；如果03H成立，那么0ijsjri,,2,1;,,2,1.以上3个假设01H、02H、03H中的三组参数i、j、ij都是未知...