清华大学2018年领军计划测试题注:2０18领军数学试题均为不定项选择,以下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。1.均为素数，且为整数，则()A.中一定有一个是2B.中一定有一个是3C.中一定有两个数相等D.也为素数【答案】DA项：举反例:，此时;B项：举反例:,此时；C项:由Ａ、Ｂ知C项不对；Ｄ项：由题意为的因子,而的因子只有1，,结合大小关系，可知,不妨设，若，则,从而，这是不可能的,故只能这意味着，均为素数，则D正确。2.均为素数，且平均数为13，则（)A.中位数最大为1７B.中位数最大为1９C.中位数最小为5D.中位数最小为7【答案】B平均数为1３的五个数之和为65,设中位数的最大值为,则有,从而知最大为19,又3,５,１9,19,1９满足要求，故最大值为１９；对于最小值，可构造出3,３,3,3，5３使得中位数为３，而易证中位数为2不成立,因此最小值为３。3.整数满足,问这样的有几组（)A.1００B.1０１C.102Ｄ．１０３【答案】C解法一：若中有两个零，共组解;若中只有一个零，共组解；若均非零，共组解。综上，所求解的组数=6+48+4８=１02组。解法二:若：此时只能取０，而,共2０组;若:此时可取,而，共组;若:此时可取,而，共组；若:此时可取,而,共组；若：此时可取，而,共组;若：此时可取,而y，z只能都等于0,共2组.综上，所求总组数。4.如下图所示,在菱形中,,为延长线上一点,,，与外接圆交于,则(）A.四点共圆B.四点共圆C.四点共圆D.四点共圆【答案】C解:注意到A,B，Ｆ,D四点共圆,所以,所以,而，所以，所以B，F，C,E四点共圆，C项正确。5.P为椭圆:上的动点,过P作切线交圆：于Ｍ,N，过M,N作切线交于Q，则（）A.的最大值为B.的最大值为C.Ｑ的轨迹是D.Q的轨迹是【答案】AC解：设点,点,则过点Q作圆的两条切线，切点弦MN所在的直线方程为:,而过椭圆上点P处的切线ＭN所在直线方程为:，比较得,又点P在椭圆上：，联立得，故C正确,D错误;点，，直线ＯQ方程为：，点P到直线OQ距离,所以，又,所以,最大值为，A正确,B错误．综上,选ＡC。6.实数满足,则（)A.最小值为B.最小值为C.最大值为8D.最大值为9【答案】AＣ解:由得,代入得：，令,则上式等价于,实数可看做关于的一元二次方程的两根:，联立得：，当时,有最大值8;当时，有最小值．综上,选AC。7.为正实数，求的最大值(）A.B.C．Ｄ.【答案】Ａ解：,取等条件：,即。8.将长为1的线段随机截成三段,问他们能构成三角形的概率（)A.B.Ｃ．D.【答案】A解:设截得的三段长分别为，则,可行域为，如下图所示,可行域面积，再考虑构成三角形的条件，不妨假设三边中最大，则构成三角形的约束为,作出可行域如上图阴影部分所示,阴影面积,再考虑到三边中最大或最大的概率与最大概率相同，故所求构成三角形的概率．9.７个互不相等的素数排成一排，任意相邻的3个和均大于100，问这7个素数的和的最小值()A.2０8B.２06C.２01Ｄ.１98【答案】A解：不妨设符合要求的一排素数依次是，则有,，故首先排除C、D选项;注意到A、B选项均为偶数,故这7个素数中必含有2。若:注意到必为奇数,假设，由于2是最小的素数,即,则，矛盾，所以，同理,此时;若：由对称性不妨假设中某个等于2，则,若，必有,否则时会导致产生矛盾，故此时，若，此时,.综上,,构造符合要求的排列，其和为208.10.实数满足,求的最大值(）A.B.C.D.【答案】A解法一（排除法):由得,再由柯西不等式得：，所以，故只能选A．解法二：，欲求的最大值,显然应考虑与同号的情形，不妨设：由可得令,则上式等价于。11.如下图所示,在中，,斜边上有一点D使得,E为BC上一点使得，求=(）A.Ｂ.C.D．【答案】A解：设,又，且，，,在△ＤBE中,由于,又可求得，由正弦定理,.12.A,B为两个随机事件，,问的充要条件（）A.B.C.D.A,B独立【答案】ＡD解:表示在事件B发生的条件下事件A不发生的概率，表示在事件B不发生的条件下事件A也不发生的概率；表示无论事件B是否发生,事件Ａ不发生的概率不变，即Ａ与Ｂ相互独立，故D正确,由相互独立事件的性质知A正确，Ｂ、Ｃ不正确。13.已知为和为1的7个非负实数,记，求M的最小值(）A.B．C.D.【答案】B解:假设，则当Ｍ取最小值时，,又，所以此时，进而，矛盾；所以假设不成立，即。取，其他,此时,故选B。14.记，求=（)A.B.C.D.【...
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