同济六版高数课后答案全集VIP免费

同济六版高等数学课后答案全集一，上册第一章习题1-11.设A=(-,-5)(5,+),B=[-10,3),写出AB,AB,A\B及A\(A\B)的表达式.解AB=(-,3)(5,+),AB=[-10,-5),A\B=(-,-10)(5,+),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)C=ACBC.证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)C=ACBC.3.设映射f:XY,AX,BX.证明(1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明因为yf(AB)xAB,使f(x)=y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)=f(A)f(B).(2)因为yf(AB)xAB,使f(x)=y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使,,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXx=x;对于每一个yY,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f-1.证明因为对于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否则若f(x1)=f(x2)g[f(x1)]=g[f(x2)]x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)=xX,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:XY,AX.证明:(1)f-1(f(A))A;(2)当f是单射时,有f-1(f(A))=A.证明(1)因为xAf(x)=yf(A)f-1(y)=xf-1(f(A)),所以f-1(f(A))A.(2)由(1)知f-1(f(A))A.另一方面,对于任意的xf-1(f(A))存在yf(A),使f-1(y)=xf(x)=y.因为yf(A)且f是单射,所以xA.这就证明了f-1(f(A))A.因此f-1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:(1);解由3x+20得.函数的定义域为.(2);解由1-x20得x1.函数的定义域为(-,-1)(-1,1)(1,+).(3);解由x0且1-x20得函数的定义域D=[-1,0)(0,1].(4);解由4-x20得|x|2.函数的定义域为(-2,2).(5);解由x0得函数的定义D=[0,+).(6)y=tan(x+1);解由(k=0,1,2,)得函数的定义域为(k=0,1,2,).(7)y=arcsin(x-3);解由|x-3|1得函数的定义域D=[2,4].(8);解由3-x0且x0得函数的定义域D=(-,0)(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+10得函数的定义域D=(-1,+).(10).解由x0得函数的定义域D=(-,0)(0,+).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设,求,,,j(-2),并作出函数y=j(x)的图形.解,,,.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1),(-,1);(2)y=x+lnx,(0,+).证明(1)对于任意的x1,x2(-,1),有1-x10,1-x20.因为当x1x2时,,所以函数在区间(-,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2(0,+),当x1x2时,有,所以函数y=x+lnx在区间(0,+)内是单调增加的.10.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加.证明对于"x1,x2(-l,0)且x1x2,有-x1,-x2(0,l)且-x1-x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(-x2)f(-x1),-f(x2)-f(x1),f(x2)f(x1),这就证明了对于"x1,x2(-l,0),有f(x1)f(x2),所以f(x)在(-l,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(...