同济大学第六版高等数学上册课后答案全集1VIP免费

习题3-51.求函数的极值:(1)y=2x3-6x2-18x+7;(2)y=x-ln(1+x);(3)y=-x4+2x2;(4);(5);(6);(7)y=excosx;(8);(9);(10)y=x+tanx.解(1)函数的定义为(-,+),y=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1),驻点为x1=-1,x2=3.列表x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)y+0-0+y↗17极大值↘-47极小值↗可见函数在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1,+),,驻点为x=0.因为当-1x0时,y0;当x0时,y0,所以函数在x=0处取得极小值,极小值为y(0)=0.(3)函数的定义为(-,+),y=-4x3+4x=-4x(x2-1),y=-12x2+4,令y=0,得x1=0,x2=-1,x3=1.因为y(0)=40,y(-1)=-80,y(1)=-80,所以y(0)=0是函数的极小值,y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-,1],,令y=0,得驻点.因为当时,y>0;当时,y<0,所以为函数的极大值.(5)函数的定义为(-,+),,驻点为.因为当时,y0;当时,y0,所以函数在处取得极大值,极大值为.(6)函数的定义为(-,+),,驻点为x1=0,x2=-2.列表x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)y-0+0-y↘极小值↗极大值↘可见函数在x=-2处取得极小值,在x=0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-,+).y=ex(cosx-sinx),y=-exsinx.令y=0,得驻点,,(k=0,1,2,).因为,所以是函数的极大值.因为y,所以是函数的极小值.(8)函数的定义域为(0,+),.令y=0,得驻点x=e.因为当x0;当x>e时,y<0,所以为函数f(x)的极大值.(9)函数的定义域为(-,+),,因为y0,所以函数在(-,+)是单调减少的,无极值.(10)函数y=x+tgx的定义域为(k=0,1,2,).因为y=1+sec2x>0,所以函数f(x)无极值.2.试证明:如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac<0,那么这函数没有极值.证明y=3ax2+2bx+c.由b2-3ac<0,知a0.于是配方得到y=3ax2+2bx+c,因3ac-b20,所以当a0时,y0;当a0时,y0.因此y=ax3+bx2+cx+d是单调函数,没有极值.3.试问a为何值时,函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解f(x)=acosx+cos3x,f(x)=-asinx-3sinx.要使函数f(x)在处取得极值,必有,即,a=2.当a=2时,.因此,当a=2时,函数f(x)在处取得极值,而且取得极大值,极大值为.4.求下列函数的最大值、最小值:(1)y=2x3-3x2,-1x4;(2)y=x4-8x2+2,-1x3;(3),-5x1.解(1)y=6x2-6x=6x(x-1),令y=0,得x1=0,x2=1.计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=0,y(1)=-1,y(4)=80,经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5,最大值为y(4)=80.(2)y=4x3-16x=4x(x2-4),令y=0,得x1=0,x2=-2(舍去),x3=2.计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=2,y(2)=-14,y(3)=11,经比较得出函数的最小值为y(2)=-14,最大值为y(3)=11.(3),令y=0,得.计算函数值得,,y(1)=,经比较得出函数的最小值为,最大值为.5.问函数y=2x3-6x2-18x-7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),函数f(x)在1x4内的驻点为x=3.比较函数值:f(1)=-29,f(3)=-61,f(4)=-47,函数f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=-29.6.问函数(x0)在何处取得最小值？解,在(-,0)的驻点为x=-3.因为,,所以函数在x=-3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=-3处取得最小值,最小值为.7.问函数(x0)在何处取得最大值？解.函数在(0,+)内的驻点为x=1.因为当00;当x>1时y<0,所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0,+)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=.8.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y,则2x+y=20,y=20-2x,于是面积为S=xy=x(20-2x)=20x-2x2.S=20-4x=4(10-x),S=-4.令S=0,得唯一驻点x=10.因为S(10)-40,所以x=10为极大值点,从而也是最大值点.当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V=r2h,得h=V-1r-2.于是油罐表面积为S=2r2+2rh(0x+),.令S=0...