历年自主招生试题分类汇编——数列9.（２０1４年北约)是等差数列,,问：是否可以同时在中,并证明你的结论．【解】不可以同时在中,下面给予证明.假设同时在中,设,其中为公差,则于是存在正整数，使得从而也所以,由于21,32互质,且为整数,则有，但,矛盾!假设错误,即证明不可以同时在中.法二：设该数列的公差为,∴，，，,，,∴，∴，,又,∴，又，与上式矛盾，故0，，不可以同时在中．5.（2013年北约)设数列满足，前项和为，,求.解析 ,,∴;由,有时,,于是,特征方程有重根2,可设，将,代入上式,得,,于是,∴．8．（２01３年北约)已知,为201３个实数,满足,且…,求证.解析设…,若,则,,…，,，于是，∴,进而．若,则，，…,这２013个数去掉绝对值号后只能取和两值，又…，即这2０13个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能．1０．(201３年北约）已知有个实数，排列成阶数阵,记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的,即对任意的，当时,有;现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时,有，试判断中每一行的各数的大小关系,并加以证明．解析数阵中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明．若在第行存在，令，其中,，则当时，即在第列中至少有个数小于,也就是在数阵中的第列中至少排在第行,这与排在第行矛盾．所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的.题３（2０12年北约)已知的4个根组成首项为的等差数列，求解：由得或设等差数列的公差为，则四个根分别为由韦达定理可知与为上式方程的两实根,而与则是另一个方程的两实数根,故,∴评析：数列是中学数学的重点内容之一,也是进一步学习高等数学的基础,本题主要涉及等差数列与二次方程的知识,考查学生的推理分析能力。本题是20０6年全国卷高考题,体现了自主招生考试与高考的联系题9(２０12年北约)求证:对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中证法一:由二项式定理可知:①当为偶数时,设则令,则,∴②当为奇数时,设则令,则,∴由①②可知,原命题成立。证法二：考察数列：由特征方程得两特征根为∴,由，得∴，由递推关系易知: ∴∴令，则,∴又 ∴∴令,则,∴综上可知:对,,其中评析：证法一构造对偶式与,利用二项式定理处理,必需具有丰富的思维想象能力和发散创造能力才行；证法二通过构造递推数列,利用特征根法求出数列的通项，然后配凑出所需满足的式子，必需具备较强的逆向思维能力和扎实的代数推理能力，才能得以实现，因而本题能全面考查出学生的知识水准和数学思维能力，命制得相当精彩。3.(2011年北约)在等差数列中,数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何.【答案】-66.【解法1】由即解得.因为所以当时,最小,最小值为.【解法2】因为因为所以当时，最小,最小值为.6.（2014年华约）已知数列满足:.(１)若,求;(2)若，求证:数列有界．【解】(1)当时,,则由累加法得,即……（１)①当时，当时,也适合;②当时，……(２)由(１)－（2)得,所以,当时,也适合;于是．(２)由,所以,于是由累加法得故,而,于是当时,有,显然也成立.于是有上界.5.(２０1３年华约）数列均为正数,且对任意满足为常数).(１)求证：对任意正数,存在,当时有;（2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在，当时,.【证明】:（１)因为对任意的满足,所以,又因为,所以，所以故对任意的正整数,存在，当时有；(注:表示不超过的最大正整数.)(2)由可得，，所以；也所以,即且由(１)知,所以,即对任意,存在,当时,有.（９)(２012年华约）已知数列的通项公式为,。是数列的前项和。则()(Ａ)０(B)(C)(Ｄ）解:(15)(20１2年华约)某乒乓球培训班共有位学员,在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。解答:假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友,所以＝2k,也就是说4k=n(n-１）,那么得到ｎ＝4l或者４l+1，期中lN，下边证明,对于任意的n=４l，或者４l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛：ｎ=4ｌ+1,的时候，对于L使用数学归纳法：（1）当L=1的时候，N=５,此时假设这5名选手为A，B,Ｃ,Ｄ,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE，BＣ-DE,ＡＥ...
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