教材习题解答第一章集合及其运算习题3.写出方程的根所构成的集合。解：的根为，故所求集合为4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A，；b)对每个集A，；c)对每个集A，；d)对每个集A，；e)对每个集A，；f)对每个集A，；g)对每个集A，；h)对每个集A，；i)对每个集A，；j)对每个集A，；k)对每个集A，；l)对每个集A，；m)对每个集A，；n)；o)中没有任何元素；p)若，则q)对任何集A，；r)对任何集A，；s)对任何集A，；t)对任何集A，；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真5.设有n个集合且，试证：证明：由，可得且，故。同理可得：因此16.设，试求？解：7.设S恰有n个元素，证明有个元素。证明：（1）当n＝0时，，命题成立。（2）假设当时命题成立，即（时）。那么对于（），中的元素可分为两类，一类为不包含中某一元素的集合，另一类为包含的集合。显然，这两类元素个数均为。因而，亦即命题在时也成立。由（1）、（2），可证得命题在时均成立。习题1.设A、B是集合，证明:证：当时，显然，得证。假设，则必存在，使得但，故与题设矛盾。所以假设不成立，故。2.设A、B是集合，试证证：显然。反证法：假设，则，若，则左，但右，矛盾。若，则左，但右，矛盾。故假设不成立，即。3.设A，B，C是集合，证明：证：2由上式可以看出此展开式与A、B、C的运算顺序无关，因此，4.设A，B，C为集合，证明证：因为==。5.设A，B，C为集合，证明：证：＝。6.设A，B，C为集合，证明：证明：=7.设A，B，C都是集合，若且，试证B=C。证：证1：，则若，则。由于，故，即；若，则，由于，故。又，只能有。因此，，总有，故。同理可证，。因此。证2：8.设A，B，C为集合，试证：证：证Ⅰ，有，因此，，。故，即。反之，，有，。因此。3故，即。所以＝。证Ⅱ：9.设，证明证：证1：，有且或。则若且，则，于是。若且，则，从而。反之，，则或。若，则由有，故，因此。若，则但，故，因此。从而。由集合相等的定义，。证2：，因为，所以。10.下列命题是否成立？(1)；(2)；(3)。解：（1），（2），（3）都不成立。反例如下：（1）任意，则。（2），则。4（3），则。11．下列命题哪个为真？a)对任何集合A,B,C，若，则A=C。b)设A,B,C为任何集合，若，则B=C。c)对任何集合A,B，。d)对任何集合A,B，。e)对任何集合A,B，。f)对任何集合A,B，。答案：d是真命题。12．设R,S,T是任何三个集合，试证：（1）；（2）；（3）；（4）证：（1），则若，则。因而且，故；若，则，同理可得。故。反之，因为，故＝。，有。若，则，故；若，则，故。因此。所以＝。（2）证：，有且。则5若，则且，故，。若，则且。故，因此。于是。（3）证：，有且。则若，则，故，因此；若，则，故，。于是反之，，则若，则，故，因而。即；若，则，故或。因此或，从而。综上可得：。于是证：，则若，则，因而。故，于是；若，则，与上同理可得。综上可得：。14．设A为任一集，为任一集族（），证明：证：，则6若，则，因而；若，则，因而，故。于是。反之，设，则。若，显然；若，则，因而，即。所以，。综上可得，＝。15．填空：设A,B是两个集合。(a)__________________；(b)__________________；(c)___________________；(d)___________________；解：(a)且；(b)或(c)或；(d)（且）或（且）16．设A，B，C为三个集合，下列集合表达式哪一个等于？（a）；（b）（c）；（d）（e）答案：c。习题1．设A,B,C为集合，并且，则下列断言哪个成立？(1)；(2)；(3)；(4)。答案：d。在两边同时并上A即得。2．设A,B,C为任意集合，化简7证：证1：原式＝证2：令原式＝T，全集为S，则且，故。3．证明：（1）；（2）；（3）证：（1）（2）证：〔根据（1）〕（3）证：〔根据（2）〕4．设和是集合S的子集的两个序列，对，有。令。试证：。证：当n＝1时，，故当n≥2时，设有或则81.若，则但，因此有。于是（1）若且，有；（2）若且，由，有且，于是。2.若，则但。于是。综上可得：5．设X是一个非空集合，试证：，有。证明：由于，故。因为，故，显然有。对于，假设存在，使得，必可找到其中最小的值，使得，故；假如不存在p，则，故。综上可得：。9所以...
