专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx.得解得(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F.S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)． S＝－(x－4)2＋16.∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.2．(2016·雅安中学一诊)如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.(1)求抛物线解析式；(2)求证：△ABC为直角三角形；(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．解：(1) 直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，∴B(4，0)，C(0，－2)． y＝ax2－x＋c经过点B，C，∴解得∴y＝x2－x－2.(2)令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．(3)连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.1设直线BC的解析式为y＝kx＋b. 将B(4，0)，C(0，－2)代入，得解得∴直线BC的解析式为y＝x－2.设点D(a，a－2)，则点P(a，a2－a－2)． PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋(a－2)＝－a2＋2a，∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2. S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．∴当点P的坐标为(2，－3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.3．(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB.令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3＝－t2＋t. －＜0，∴当t＝－＝时，即点D坐标为(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.(3)存在． P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一， 直线BC解析式为为y＝－x＋3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.由解得∴Q1(2，3)． 直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3，∴M(1，2)．设PM与x轴交于点E， PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．联立解得∴Q2(，－)，Q3(，－)．∴满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，－)或(，－)．2类型2探究线段的数量关系及最值问题4．(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y＝x2＋(－1)x－2(a＞0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点D(2，－2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．解：(1) 抛物线过点D(2，－2)，∴×4＋(－1)×2－2＝－2，解得a＝4.(2) 点A，B是抛物线与x轴的交点，∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点． a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.令y＝0，则...
