绝对值三角不等式名医讲座VIP专享VIP免费

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式【自主预习】1.绝对值的几何意义原点距离长度a2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅当______时,等号成立.(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.|a|+|b|ab≥0(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时,等号成立.(a-b)(b-c)≥0【即时小测】1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的条件是()A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,不等式|a+b|<|a|+|b|成立.2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为_________.【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.答案:a≤2【知识探究】探究点绝对值三角不等式1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是什么?提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|“中=”成立的条件分别是什么?提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.【归纳总结】1.对定理1的两点说明(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.(2)定理1可推广到n个实数情况即:|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.2.定理2的几何解释在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时,(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.类型一利用绝对值三角不等式证明不等式【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|<|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:<2.【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.2ab||xx【证明】因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,所以|x2|>|b|.又因为|x|>m≥|a|,所以故原不等式成立.22222abxxabab||||||2,xxxxxxxx2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|<1证明.【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).类型二利用绝对值三角不等式求最值或取值范围【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式?提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.所以ymax=4,ymin=-4.【延伸探究】1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?【解析】函数y取到最大值,需要满足解得x≤-1.x3x10,x3x1.2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,求a的取值范围.【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值,则|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4,所以a的取值范围是[4,+∞).【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|...