！利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集．二、例题选讲例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．解： |x＋2|＝，|x－1|＝．故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组：(Ⅰ)，或(Ⅱ)，或(Ⅲ)．不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，不等式组(Ⅱ)的解集是，不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是．⑶当x＞2时，原不等式可化为(x－1)＋(x－2)＞x＋3，即x＞6．故不等式的解集是{x|x＞6}．第1页共8页！综上可知，原不等式的解集是{x|x＜0或x＞6}．例3已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，求a的取值范围．解： x＝5时，|x－5|＝0；x＝3时，|x－3|＝0．⑴当x≤3时，原不等式可化为－x＋5－x＋3＜a，即a＞8－2x，由x≤3，所以－2x≥－6，故a＞2．⑵当3＜x≤5时，原不等式可化为－x＋5＋x－3＜a，即a＞2．⑶当x＞5时，原不等式可化为x－5＋x－3＜a，即a＞2x－8＞10－8＝2，故a＞2．综上知a＞2．无理不等式与绝对值不等式●考试目标主词填空1.含有绝对值的不等式①|f(x)|
0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－aa(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)<－a.③|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:①②.3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,此不等式可推广如下：|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|当且仅当a1,a2,a3,…an符号相同时取等号.●题型示例点津归纳【例1】解无理不等式.(1)>2;(2)>2x－4;(3)<2x+1.【解前点津】(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:.(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】(1)化原不等式为:.(2)化原不等式为:第2页共8页！.(3)化原不等式为两个不等式组:.【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】解下列含有绝对值的不等式：(1)|x2－4|≤x+2;(2)|x+1|>|2x－1|;(3)|x－1|+|2x+1|<4.【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x+2)≤x2－4≤(x+2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x=1,－时,有x－1=0及2x+1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.【规范解答】(1)原不等式可化为:－(x+2)≤x2－4≤x+2.故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x+1|2>|2x－1|2(2x－1)2－(x+1)2<0.(2x－1+x+1)·(2x－1－x－1)<03x·(x－2)<00
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