河科大附中数学必修二学习单编制：杨宏亮审核：任明俊专题：几何体的内切球和外接球三视图【学习目标】1.掌握几何体的内切球和外接球问题；2.掌握几何体的三视图。※自主研读学习单※1.如果一个球与几何体的各个面都相切，球为几何体的内切球；2.如果一个几何体的所有顶点都在球面上，球为几何体的外接球；3.棱长为的正四面体的高为________;它的外接球半径为________;内切球半径为________;球心为高的_____等分点。解：如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积S表=4×√34a2=√3a2．正四面体的体积VA−BCD=13×√34a2×AE=√312a2√AB2−BE2=√312a2√a2−(√33a2)=√212a3 13S表⋅r=VA−BCD，∴r=3VA−BCDS表=3×√212a3√3a2=√612a在RtΔBEO中，BO2=BE2+EO2，即R2=(√33a)2+r2，得R=√64a，得R=3r变式：一个正四面体内切球的表面积为3π，求正四面体的棱长。（答案为：）4.正方体的内切球R=a2：5.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，R=√22a6.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，R=A1O=√32a。河科大附中数学必修二学习单编制：杨宏亮审核：任明俊变式：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。※合作探究学习单※题型一几何体的内切球和外接球例1.正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球O是正三棱锥P−ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．PH是正三棱锥的高，即PH=1．E是BC边中点，H在AE上，ΔABC的边长为2√6，∴HE=√36×2√6=√2．∴PE=√3可以得到SΔPAB=SΔPAC=SΔPBC=12BC⋅PE=3√2．SΔABC=√34(2√6)2=6√3由等体积法，VP−ABC=VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC+VO−ABC∴13×6√3×1=13×3√2×R×3+13×6√3×R得：R=2√32√3+3=√6−2，∴S球=4πR2=4π(√6−2)2=8(5−2√6)π．∴V球=43πR3=43π(√6−2)3．例2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边ΔSAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1．河科大附中数学必修二学习单编制：杨宏亮审核：任明俊设球的半径OO1=R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；OB=O1O⋅cot30°=√3R，SO=OB⋅tan60°=√3R⋅√3=3R，∴V球=43πR3，V柱=πR2⋅2R=2πR3，V锥=13π⋅(√3R)2⋅3R=3πR3，∴V球∶V柱∶V锥=4∶6∶9．例3.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图，由题意得两球心O1、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R2=√36a，正三棱柱的高为h=2R2=√33a，由RtΔA1D1O中，得R12=(√33a)2+R22=(√33a)2+(√36a)2=512a2，∴R1=√512a∴S1:S2=R12:R22=5:1，V1:V2=5√5:1例4.设棱锥M−ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： AB⊥AD,AB⊥MA,∴AB⊥¿¿平面MAD，由此，面MAD⊥¿¿面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥¿¿平面AC，ME⊥EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2，得截面图ΔMEF及内切圆O河科大附中数学必修二学习单编制：杨宏亮审核：任明俊不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r=2SΔMEFEF+EM+MF，设AD=EF=a, SΔAMD=1.∴EM=2a,MF=√a2+(2a)2,r=2a+2a+√a2+(2a)2≤22+2√2=√2−1当且仅当a=2a，即a=√2时，等号成立.∴当AD=ME=√2时，满足条件的球最大半径为√2−1.例5.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球...
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