6.3二面角一、作点在面上的射影(作垂线)1、已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．2、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F－BD－C的余弦值。3.如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,，为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中..COBDEACDOBE图1图2(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.4．一个三棱锥的三视图、直观图如图．（1）求三棱锥的体积；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）求二面角的余弦值．二、过棱作垂面（线）法(作垂面)1.在锥体中，是边长为1的棱形，且,,分别是的中点，（1）证明：;（2）求二面角的余弦值.2、如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于。（1)求证：⊥EF;（2）求二面角的余弦值.3、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP。（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC＝BC，求二面角E－AC－P的余弦值。4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点._F_F_D_E_B_A_E_A_/_D_C_B(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.三、无棱的延展半平面（作延长线或平行线）1.如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.（1）求证：∥平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，图4ABCA1C1B1DE求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.2．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足．（1）求证：；（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，并求此时的长；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．3.如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.(1)证明:AP⊥平面PBC(2)若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.4．如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I)证明EF//平面PAD.(II)若PH=,AD=2,AB=2,CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.5.如图5，弧AEC是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足==，FE=.（1）证明：；(2)已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成的两面角的正弦值.课后练习1、如图,在直三棱柱中，，,，，点是的中点．⑴、求证：平面；⑵、求二面角的正切值．2、已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．6.ACBA1C1B1D（1）求证：⊥；（2）求二面角的平面角的余弦值．3、已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，AA1为母线，已知（I））求证：⊥平面；（II）求二面角的余弦值．（Ⅲ）求三棱锥的体积.4、长方体中，，．（1）若分别是、中点，求证：EF//平面；（2）求二面角的正弦值．5．右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且=2.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角A-PB-E的余弦值。6、如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.7．如图,为矩形,为梯形,平面平面,,.(1)若为中点,求证:∥平面;(2)求平面与所成锐二面角的大小.ABACAEAOA
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