平面向量的夹角VIP专享VIP免费

3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则AOB平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作ba即cos||||baba并规定00a教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义abbaba,,,0＝被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,OABaabb2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,,,cos,,,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3)空间向量的数量积性质aaababa2)20)1注意：①性质1）是证明两向量垂直的依据；②性质2）是求向量的长度（模）的依据；注意：①性质1）是证明两向量垂直的依据；②性质2）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：对于非零向量，有：,ab4)空间向量的数量积满足的运算律注意：分配律））交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()cbacba（二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝0三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥例2：利用向量知识证明三垂线定理aAOP.,0,,,,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解：由，可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD�22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab���22CDabbabCABD'D练1已知在平行六面体中，,,求对角线的长。练1已知在平行六面体中，,,求对角线的长。ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'解：ACABADAA�22222222||()||||||2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA���||85AC�练2.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc��222CDabc