下载后可任意编辑【自然数集扩充后的基数理论】自然数的基数摘要:自然数集扩充后,其基数理论起了相应变化,定义与法则都需作调整以适应数学教学与应用的需要. 1994 年 11 月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为 N={0,1,2,3,…} 而将原自然数集称为非零自然数集 N+(或 N)={1,2,3,…}. 自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下. 1 对自然数的来源的认识 由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是 6 世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数. 2 自然数的新概念 自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义 1 有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立 N 与 N+的一一映射关系 f: N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…} 由此可见,N 与 N+有相同的基数,即|N|=|N+|. 3 自然数的四则运算 自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即 定义 2 设有有限集合 A 和 B,且 A∩B=Φ(A,B 分离).若记 A∪B=C,集合 A,B,C1下载后可任意编辑的基数分别是 a,b 和 c,那么 c 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b=c.xxxx(m1)个相互对等,且两两分离的有限集合 A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是 n.又设 A=Umi=1Ai,A 的基数记作 a,即有 a=n+n+…+nm 个,这个 a 就叫做 n 乘以 m 的积,记作 a=n×m,或 a=n.m,或 a=nm.n 称为被乘数,m 称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法. 对于数 0,1,补充义定:n 和 0 的积是 0,n 和 1 的积是 n,即 n.0=0,n.1=1. 在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立. 关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合 B 可以是 A 本身,即 定义 4 设有有限集合 A 和 B,BA,若记 A-B=C,且 A,B,C 的基数分别记作a,b,c,那么 c 叫做 a,b 的差,记作 a-b=c. a...
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