绝对值三角不等式及其应用VIP专享VIP免费

绝对值三角不等式复习回顾：我们知道,一个实数a的绝对值的意义:⑴(0)0(0)(0)aaaaaa;（定义）⑵a的几何意义:OA||axa0关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.①2aa②abab,aabb,……思考:用恰当的方法在数轴上把,,abab表示出来，你能发现它们之间的什么关系?注：绝对值的几何意义:⑴a表示数轴上的数A对应的点与原点O的距离OA;⑵ab表示数轴上的数A对应的点与数b对应的点B的距离.如图:即a=OA，abAB猜想：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab<0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）abababab推论1（运用数学归纳法可得）：1212≤nnaaaaaaLL.定理2如果a、b、c是实数,--------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|-------当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.定理3如果a、b是实数,--------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时,等号成立.当且仅当ab≥0时,等号成立.将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立例1已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε,求|2x+3y-2a-3b|<5ε证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.三角不等式应用例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。·10·x·20已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M.(1)证明：|1+b|≤M;(2)当时，试求出f（x）的解析式.由|f(x)|在［-1，1］上的最大值为M建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（-1）|是解决问题的关键.【例3】;21:)2(M证明21M思维启迪（1）证明∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|，2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，∴M≥|1+b|.（2）证明依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，又f（-1）=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，.21M（3）解,21|||)0(|,21bfM时当.21)(,01001②③,21,21①④2123③②211212112121212xxfaaabbbbabab因此得分别代入时当得由得同理①②③④证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（1）恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明.探究提高例4设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤8.证明方法一∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1，∴|f（0）|≤1，即|c|≤1.又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1.又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|，且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4，∴|a|≤2.∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2，∴|b|≤1，∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b|≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8，即|f（2）|≤8.方法二∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1，∴|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1.由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，f（0）=c知∴f（2）=|4a+2b+c|=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3×1+1×1+3×1=7≤8.,2)0(2)1()1(fffa).0(,2)1()1(fcffb