1 2014 年高考数学(理)立体几何大题汇编： 1.[2014·福建] 在平面四边形ABCD 中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5 所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 1．解：(1)证明： 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B 为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，12，12 . 则BC→＝(1，1，0)，BM→＝0，12，12 ，AD→＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量n＝(x0，y0，z0)， 则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，取z0＝1，得平面MBC 的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝||cos〈n，AD→〉 ＝|n·AD→||n|·|AD→|＝63 .即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63 . 2．[2014·安徽] 如图1-5，四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且 AD＝2BC.过A1，C，D 三点的平面记为α，BB1 与α 的交点为Q. 2 (1 )证明：Q 为BB1 的中点；(2 )求此四棱柱被平面α 所分成上下两部分的体积之比； (3 )若AA1 ＝4 ，CD＝2 ，梯形ABCD 的面积为6 ，求平面α 与底面ABCD 所成二面角的大小． 2 ．解： (1 )证明：因为BQ∥AA1 ，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1 ＝A，所以平面QBC∥平面A1 AD， 从而平面A1 CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1 D.故△QBC 与△A1 AD 的对应边相互平行， 于是△QBC∽△A1 AD，所以BQBB1＝BQAA1＝BCAD＝12 ，即Q 为BB1 的中点． (2 )如图1 所示，连接QA，QD.设AA1 ＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α 所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2 a.V 三棱锥Q -A1 AD＝13 ×12 ·2 a·h·d＝13 ahd，V四棱锥Q -ABCD＝13 ·a＋2 a2·d·12 h ＝14 ahd， 所以V下＝V 三棱锥Q -A1 AD＋V四棱锥Q -ABCD＝71 2 ahd.又V 四棱柱A1 B1 C1 D1 ABCD＝32 ahd， 所以V上＝V 四棱柱A1 B1 C1...
VIP
