1 2014 年高考数学(理)立体几何大题汇编: 1.[2014·福建] 在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图1-5 所示.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值. 1.解:(1)证明: 平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B 为坐标原点,分别以BE→,BD→,BA→的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M0,12,12 . 则BC→=(1,1,0),BM→=0,12,12 ,AD→=(0,1,-1).设平面MBC 的法向量n=(x0,y0,z0), 则n·BC→=0,n·BM→=0,即x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面MBC 的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=||cos〈n,AD→〉 =|n·AD→||n|·|AD→|=63 .即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63 . 2.[2014·安徽] 如图1-5,四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD 为梯形,AD∥BC,且 AD=2BC.过A1,C,D 三点的平面记为α,BB1 与α 的交点为Q. 2 (1 )证明:Q 为BB1 的中点;(2 )求此四棱柱被平面α 所分成上下两部分的体积之比; (3 )若AA1 =4 ,CD=2 ,梯形ABCD 的面积为6 ,求平面α 与底面ABCD 所成二面角的大小. 2 .解: (1 )证明:因为BQ∥AA1 ,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1 =A,所以平面QBC∥平面A1 AD, 从而平面A1 CD 与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1 D.故△QBC 与△A1 AD 的对应边相互平行, 于是△QBC∽△A1 AD,所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12 ,即Q 为BB1 的中点. (2 )如图1 所示,连接QA,QD.设AA1 =h,梯形ABCD 的高为d,四棱柱被平面α 所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2 a.V 三棱锥Q -A1 AD=13 ×12 ·2 a·h·d=13 ahd,V四棱锥Q -ABCD=13 ·a+2 a2·d·12 h =14 ahd, 所以V下=V 三棱锥Q -A1 AD+V四棱锥Q -ABCD=71 2 ahd.又V 四棱柱A1 B1 C1 D1 ABCD=32 ahd, 所以V上=V 四棱柱A1 B1 C1...