1 / 17 “有限元法基础及应用”补充讲义一、弹簧单元与弹簧系统1、 弹簧单元分析1）单元描述弹性系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。单元节点编号：ji,节点位移（基本未知量） ：ji uu ,单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：jiff ,已知弹簧的物理特性：kF其中：为弹簧力（拉伸为正）为弹簧伸长量，为弹簧刚度Fuukij,2）建立弹簧单元的有限元特性方程考虑弹簧元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：jiijjjiijikukuuukFfkukuuukFf)()(写成矩阵形式：jijiuukkkkff上式的矩阵符号形式为：kdf方程（ 1-2）或（ 1-3）称为弹簧单元的刚度方程 ，反映了单元特性，即节点力~节点位移之间的关系。式（ 1-3）中：称为单元节点力列阵称为单元节点位移列阵称为单元刚度矩阵,,,jijiffuukkkkfdk（ 1-1）（ 1-2）（ 1-3）2 / 17 3）弹簧单元刚度方程的讨论a. 有何特点？k对称、奇异、主对角元素恒正。b.么？中元素的物理意义是什k刚度矩阵元素的大小等于弹簧刚度。从对方程（ 1-2）分析的分析可以看出，矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位移对行序号对应节点的节点力贡献系数。因此，矩阵中任意一个元素ijk 的物理意义是： j 节点的位移对i 节点的节点力贡献系数，或者 j 节点有单位位移，其他节点位移为零时，i 节点上的节点力。c. 单元刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。单元刚度方程仅仅表征一个单元的力学特性，单元水平上无法确定单元节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和反力。单元水平上， 若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析求解1）建立系统节点平衡方程以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2 ），分别写出2 个弹簧单元的特性方程如下：单元 1 单元 2 （注：右端节点力分量的下标为单元节点的局部编号，上标是单元编号）下面用两种方法装配单元特性、建立系统控制方程，并在特定条件下求解。（1）由系统中节点平衡条件导出：系统处于平衡时，考虑各节点（1，2，3 节点）的...
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