三角形“四心〞向量形式的充要条件应用 1〕O 是 AABC 的重心 o OA + OB + OC = 0 ;S = S = S= 1s假设 O 是 AABC 的重心,那么 ABOCAAOCAAOB3 AABC-►三-F故 OA + OB + OC = 0;PG = 1〔PA + PB + PC 〕 o G 为 AABC 的重心. »-1-b b►F2〕O 是 AABC 的垂心 o OA ・OB = OB - OC = OC - OA ;假设 O 是 AABC〔非直角三角形〕的垂心,S ： S ： S= tanA：tanB：tanC那么 ABOCAAOCAAOBb.■—■故 tanAOA + tanBOB + tanCOC = 0ll 3.ll =3）O 是 AABC 的外心 o IOAI=IOBI=IOCI〔或 OA2 = OB2 = OC2〕假设 O 是 AABC的外心那么 S： S ： S= sinZBOC： sinNAOG sinNAOB = sin2A: sin2B: sin2C那么 ABOCAAOCAAOB故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 04）O 是内心 AABC的充要条件是OA i 一 处IABI AC...4i〕=OB .〔吗-生〕=OC .〔反 - 3 〕 = 0IBA I IBCIICA I ICBIb- . S- k--引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记 AB,BGCA的单位向量为 e1,e2,eAABC内 心 的 充 要 条件可以那么刚刚 O是写 成OA ・〔e + e 〕 = OB ・〔e + e 〕 = OC ・〔e + e 〕 = 01♦■,-P,O 是 AABC 内心的充要条件也可以是 aOA + bOB + cOC = 假设 O 是 AABC 的内心,那么 S ABOC： S AAOC： S AAOB = a b： c-b-b-b-f■>n■—r故 aOA + bOB + cOC = 0 或 sin AOA + sinBOB + sinCOC = 0I AB I PC + I BC I PA + I CA I PB = 0 o P AABC的内心;向量九〔为 + 冬〕〔九丰 0〕所在直线过 AABC 的内心〔是 ZBAC 的角平分线所在直线〕； I AB I I AC I一.范例〔一〕,将平面向量与三角形内心结合考查例 1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP = OA +九〔笆+二〕,九」0,+8〕 阴网那么 P 点的轨迹一定通过 AABC 的〔〕0 外心 8〕内心〔0 重心 6〕垂心上的单位向量分别为彳和 e2, 又 OP - OA = AP,那么原式可化为 AP =九〔e1+ e2〕,由菱形的 根本性质知 AP 平分ZBAC：那么在 NABC 中,AP 平分 ZBAC,那么知选 B. ,点评：这道题给人的印象当然是“新奇、陌生"首先的是什么？没见过！想想,一个非 网零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的根本知识,如向量的加减法、...
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