1 / 7 最短路线和最速降线2 / 7 一、最短路线1．问题设一辆汽车停止于A 处并垂直于AB 方向，此汽车可转弯的最小圆半径为R ,求不倒车时由 A 移到 B 的最短路线。（1）讨论2ABR 的情形。（2）简单讨论2ABR 的情形。2．假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。3．建模 （1）讨论2ABR 的情形。以 AB 为 Y 轴正向，作一半径为 R 的圆与 X 轴切于 A 点，问题就是要找一条最短曲线连结AB ，在 A 点切于 X 轴正向，且任一点的曲率半径不小于R 。直观上不难猜测出最短路径。从 B 点向圆做切线 BC ，那么由 A 点沿圆弧 AC 移到 C 点，再沿直线移到B 点，这就是最短路径（如图 1 所示）。为了证明这一事实，作一条直线l 通过圆的中心 O 和 C 点。假设汽车沿某一条曲线1 由 A 点移到 B 点，因 A 、 B 分别在直线 l 两侧，1 与 l 必有一交点11,C被分成弧1AC 和弧1BC 两段。因 BC 与 l 垂直，弧1BC 的长度必不小于线段BC 的长度（当且仅当弧1BC 与线段 BC 重合时才可能相等） 。设弧1AC 的参数方程为( ),( ),(0)0,(0)0xx syy sxy图 1 其中 s 为弧长。在点( ( ),( ))x sy s处，曲线的切线与X 轴的夹角记为，依条件有1ddsR当0s时，0，故00011,ssRdsdRds从而s R。研究 曲线上的点与直线l的 距离（在l的右边为正）( )( )cos( ( ))sin,J sx sy sRBOC因为3 / 7 cos ,sindxdydsds故00( )cos ( ), ( )sin ( )ssx st dt y st dt因此000( )coscos ( )sin(sin ())cos( ( ))sinsssJ st dtdtRtdtR当0t时，有( )tt R。当 0()tR时,( )tttRR。故 cos( ( ))cos()ttR故当 0()sR时，0( )cos()sinsin()0stsJ sdtRRRR这就是说，当汽车移动距离不超过()R（就是弧 AC 的长度）时，它不可能越过直线 l 。因此弧1AC 的长度至少为()R,并且只有当弧1AC 与 AC 完全重合时，它的长度才能等于()R。总结上述讨论，知曲线1 的长度必不小于()tan,RR并且只有当1 与 ACB重合时才可能相等。因此ACB 是唯一的最短路径。（2）若 B 点在圆内，即2 ,ABR 则应过 A 点作一半径 R 的圆，其圆心在BA 延长线上， 再过 B 点作一圆， 半径为 R ，且与前圆切于点C ，则最短路径是弧AC 和弧 CDB 所组成的曲线（如图2 所示）。图 2 4 / 7 二、最速降线1．问题意大利科学家伽利略在1630 年提出一个分析学的基本问题 ...
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