1．(2015 ·课标全国 Ⅱ )已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为120° ，则 E 的离心率为 () A.5 B． 2 C.3 D.2 答案D 解析如图，设双曲线E 的方程为 x2a2－y2b2＝ 1(a＞0，b＞0)，则 |AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1,0)， △ ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120° ，∴|BM |＝|AB|＝2a，∠MBN＝60° ，∴y1＝|MN|＝ |BM|sin∠MBN ＝2asin 60 °＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60 °＝2a.将点 M(x1，y1)的坐标代入 x2a2－y2b2＝1，可得 a2＝ b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝2，选 D. 2.如图，已知椭圆C 的中心为原点O，F(－ 2 5，0)为 C 的左焦点， P 为 C 上一点，满足 |OP|＝|OF|，且 |PF|＝4，则椭圆 C 的方程为 () A.x225＋y25＝1 B. x236＋ y216＝1 C.x230＋ y210＝1 D. x245＋ y225＝1 答案B 解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦距为 2c，右焦点为F′，连接 PF′，如图所示，因为F(－25，0)为 C 的左焦点，所以c＝2 5. 由|OP|＝|OF|＝|OF′|知， ∠FPF ′＝90°，即 FP⊥PF′. 在 Rt△PFF ′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF ′|2－|PF|2＝4 52－42＝8. 由椭圆定义，得|PF |＋|PF′|＝2a＝ 4＋8＝12，所以 a＝6，a2＝36，于是 b2＝a2－c2＝36－ (2 5)2＝16，所以椭圆的方程为x236＋ y216＝1. 3．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交 C 于 A，B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为 () A.334B.938C.6332D.94答案D 解析由已知得焦点坐标为F(34，0)，因此直线 AB 的方程为 y＝33 (x－34)，即 4x－4 3y－3＝0. 方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－123y－9＝0，故|yA－ yB|＝yA＋ yB2－4yAyB＝6. 因此 S△ OAB＝12|OF ||yA－yB|＝12×34×6＝94. 方法二联立方程得x2－212 x＋916＝0，故 xA＋ xB＝212 . 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝212 ＋ 32＝12，同时原点到直线AB 的距离为 h＝|－3|42＋ －432＝38，因此 S△ OAB＝12|AB| ·h＝94. 4．(2016 ·北京 )双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0， b＞0)的渐近线为正方形OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为 2，则 a＝________. 答案2 解析设 B 为双...
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