1 / 4 最小二乘法数据拟合设给定数据),(ii fx，),,2,1(mi在集合},,,{Span10n 中找一个函数)()(*0**xaxSknkk，)(mn(1) 其误差是iiifxS)(*，),,2,1(mi(2) 使)(* xS满足21)(2*112])()[(min])()[(iimiixSiimiimiifxSxfxSx(3) 0)(x是],[ba上给定的权函数。上述求逼近函数)(* xS的方法就称为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(3)的函数)(* xS称为上述最小二乘问题的最小二乘解。并且有结论：1)对于给定的函数表),(ii fx，),,2,1(mi，在函数类},,,{Span10n 中存在唯一的函数)()(*0**xaxSknkk，使得关系式 (3) 成立。2)最小二乘解的系数**1*0,,,naaa可以通过解法方程),(),(0faknkjk，),,2,1,0(nj(4) 作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取},,,,1{},,,{210nnxxx那么相应的法方程(4)就是iniiiiiiinniiniiniiniiiiiiniiiiifxfxfaaaxxxxxxxx102112(5) 2 / 4 其中，)(iix，并且将mi 1简写成“”。此时，knkkxaxS0**)(，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。例：已知某高度传感器测得的数据如下表：表 1 序号 i1 2 3 4 5 6 7 时间ix（秒）1 2 3 4 6 7 8 高度iy（米）2 3 6 7 5 3 2 试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。（一）算法：解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂），2210)(xaxaaxfy由式 (5)可建立法方程组（其中取1)(ix）71271712107171714327171713271717121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyaaaxxxxxxxx(6) 由表 1 的数据可以计算出71iix ，712iix ，713iix ，714iix，71iiy ，71iii yx，712iii yx计算结果列在表2 中i1 2 3 4 5 6 7 求和时间ix（秒）1 2 3 4 6 7 8 31 高度iy（米）2 3 6 7 5 3 2 28 3 / 4 2ix1 4 9 16 36 49 64 179 3ix1 8 27 64 216 343 512 1171 4ix1 16 81 256 1296 2401 4096 8147 ii yx2 6 18 28 30 21 16 121 ii yx22 12 54 112 180 147 128 635 将表 2 中算得的结果代入法方程(6)，可得：14762-354100304926-10030101980-30104210210210aaaaaaaaa解方程组可得：88.344547210aaa故所求拟合曲线为：23864.04321.33185.1)(xxxfy（二）用 MATLAB编程求解：多项式函数使用 polyfit （x,y,n），n 为次数拟合曲线x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2]; 解： MATLAB程序如下：x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2]; p=polyfit(x,y,2) x1=0:0.01:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 计算结果为：p = -0.3864 3.4318 -1.3182 4 / 4 012345678910-6-4-202468
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