精品文档。1欢迎下载2-5 求通过(0)1x，(1)2x，使下列性能泛函为极值的极值曲线* ( )x t ：02(1)fttJx dt&解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21Lx& ，0Lx，2Lxx&&，2dLxdtx&&&代入欧拉方程0LdLxdtx&，可得 20x&&，即0x&&故1xc&其通解为：12xc tc代入边界条件(0)1x，(1)2x，求出11c，21c极值曲线为* ( )1xtt2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x， ()4fx t式中ft 自由且ft >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线* ( )x t ：211[2 ( )( )]2ftJx tx t dt&解：由题可知，2122Lxx& ，4ft，14x，4fx t欧拉方程：L0dLxdtx&横截条件：00txx，ffx tt，0fTtLLxx&&&易得到2dxdt&故12xtc&其通解为：212x ttc tc根据横截条件可得：122121114424fffffxccx ttc tcx ttc&解以上方程组得：12569ftcc还有一组解12121cct f( 舍去，不符合题意ft >1) 精品文档。2欢迎下载将ft ，1c ，2c 代入 J 可得3140)3(4)212(50250.2*?tdtxxJ. 极值轨线为*269xttt2-7 设性能泛函为120(1)Jxdt&求在边界条件(0)0x，(1)x自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线* ( )xt 。解：由题可知，21Lx& ，00x，1x自由欧拉方程：L0dLxdtx&横截条件：00txx，L0ftx&，0fTtLLxx&&易得到 x ta&其通解为： x tatb代入边界条件fx ta&，00x，1ft，求出0a，0b将ft ， a， b 代入 J 可得1*20 11Jxdt&极值轨线为*0xt2－8 设泛函dttxxxxLJtft),,,,(2..1201端点),,(02010txxA固定，端点)),(),((21ttxtxBff可沿空间曲线)()(),()(21ffffttcttc移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为0)()([.2.2...1.tfxLxxLxL证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P精品文档。3欢迎下载0)(...tfTxLxcL可得，（1）由 c=T,,Txxx),(2.1..),()(.2..1...xxxcT, TxLxLxL),(..1.2.22..1.1.....)()()(xLxxLxxTxcT（2）将（ 2）代入（ 1）式，得：0)()(...22.1.1tfxLxxLxL, 得证。2-13 设系统状态方程12( )( )x tx t&，1(0)2x2( )( )xtu t&，2(0)1x性能指标如下：201( )2ftJut dt要求达到()0fx t，试求（1）5ft时的最优控制* ( )ut 。（2）ft 自由时的最优控制* ( )ut 。解：由题可知构造 H：212212THLfuxu正则方程：11212( )0( )HtxHtx&&可求得11212( )( )tctc tc精品文档。4欢迎下载控制方程：20Huu由上式可得212( )u tc tc由状态方程12( )( )x txt&，2( )( )xtu t&可得32112342212311( )621( )2...
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