统计学常用分布及其分位数VIP专享VIP免费

§1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及 F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当 X1、X2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=iiX 2 的分布称为自由度等于 n 的2 分布，记作 Z～2 (n)，它的分布密度 p(z)=,,00,2212122其他zexnznn 式中的 2n =udeuun 012，称为 Gamma 函数，且  1=1，  21 = π。2 分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y 与 Z相互独立，且 Y～2 (n)，Z～2 (m)，则 Y+Z～2 (n+m)。 证明: 先令 X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m 相互独立且都服从 N(0,1)，再根据2 分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X21 +X 22 +…+X 2n，Z=X 21n+X 22n+…+X 2mn ， Y+Z= X 21 +X 22 +…+X 2n+ X 21n+X 22n+…+X 2mn ， 即可得到 Y+Z～2 (n+m)。 2. t 分布 若 X 与 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～2 (n)，则 Z =nYX 的分布称为自由度等于 n 的 t 分布，记作 Z ～ t (n)，它的分布密度 P(z)=)()(221nnn2121 nnz 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30 时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X～2 (n)，Y～2 (m)， 则Z=mYnX的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度 p(z)=•。其他,00,2)(1222222zmnznmnzmnmnmmnn 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，Z1 ～F (m ,n)。 4. t 分布与F 分布的关系 若X～t(n)，则Y=X 2 ～F(1,n)。 证：X～t(n)，X 的分布密度p(x)=221nnnπ2121 nnx 。 Y=X 2 的分布函数FY (y) =P{Y0 时，FY (y) =P{-y