线性方程组求解VIP专享VIP免费

第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,, (1) 的 方程组， 其 中nxxx,,,21代 表 n 个 未 知 量 ， s 是 方程的 个 数 ，),,2,1;,,2,1(njsiaij称为线性方程组的系数，),,2,1(sjbj称为常数项.方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数ija 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是jx 的系数. 所谓方程组(1) 的一 个解就是指由 n 个 数nkkk,,,21组成的 有 序 数 组),,,(21nkkk，当nxxx,,,21分别用nkkk,,,21代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组 .522,4524,132321321321xxxxxxxxx 第二个方程组减去第一个方程的2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 .42,24,1323232321xxxxxxx 第二个方程减去第三个方程的2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 .6,42,132332321xxxxxx 这样，就容易求出方程组的解为（9 ，-1 ，-6 ）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1 . 用一非零数乘某一方程； 2 . 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3 . 互换两个方程的位置. 定义1 变换1 ，2 ，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证...