09 级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次， 就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15 分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。 以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线 ab, 则 ab 也与 A、B，C、D平行。当方桌绕中心0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。容易看出， 当四条腿尚未全部着地时， 腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令( )f为 A、B离地距离之和，( )g为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（ 1），( )f,( )g均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故( )f( )g=0 必成立（）。不妨设(0)0f,(0)0gg（若(0)g也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转） ，于是问题归结为：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。已知( )f,( )g均为的连续函数，(0)0f,(0)0g且对任意有00() ()0fg，求证存在某一0 ，使00()()0fg。证明：当θ=π 时， AB 与 CD 互换位置，故( )0f，( )0g。作( )()( )hfg，显然，( )h也是的连续函数，(0)(0)(0)0hfg而()()( )0hfg，由连续函数的取零值定理，存在0，00，使 得0()0h， 即00()()fg。 又 由 于00()()0fg， 故 必 有00()()0fg，证毕。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。2. 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A宿舍， 333 人住在 B宿舍， 432人住在 C宿舍。学生 们要组织一个 10 人的委员会， 试用合理的方法分配各宿舍的委员数。 （15 分） 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为 x 人，B 宿舍的委员数为 y 人， C宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。则 x+y+z=10 ； x/10=235/1000； y/10=333/1000； z/10=432/1000...
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