1 / 17 线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在 ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因 A 1，A 2，B，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表 1.1 基因的相对频率爱斯基摩人f1 i班图人 f 2 i英国人 f3i朝鲜人 f4 iA10.2914 0.1034 0.2090 0.2208 A20.0000 0.0866 0.0696 0.0000 B0.0316 0.1200 0.0612 0.2069 O0.6770 0.6900 0.6602 0.5723 合计1.000 1.000 1.000 1.000 问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记kikifx.由于对这四种群体的每一种有141ikif，所以我们得到4121ikix.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量 .记.44434241,34333231,24232221,141312114321xxxxaxxxxaxxxxaxxxxa2 / 17 在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1 的球面上 . 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的 .如果我们把 a1和 a2之间的夹角记为θ ， 那么由于 | a1|=| a2|=1，再由内只公式， 得21cosaa而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021aa故9 1 8 7.0c o s21 aa得2.23° . 按同样的方式，我们可以得到表1.2. 表 1.2 基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2 °16.4 °16.8 °班图人23.2 °0°9.8 °20.4 °英国人16.4 °9.8 °0°19.6 °朝鲜人16.8 °20.4 °19.6 °0°由表 1.2 可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大. 2 Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的 . 解建立如图 2.1 所示坐标系，设 A，B，C三点的坐标分别为（a1,b 1,c 1）,( a2,b 2,c 2)和（ a3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为.,,,,,rqpnml由立体几何知道，该四面体的体积 V等于以向量OCOBOA,,组成右手系时， 以它们为棱的平行3 / 17 六面体的体积 V6 的16 . 而.3332221116cbacbacbaOCOBOAV于是得.6333222111cbacbacbaV将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c...
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