学生数学建模竞赛第一次预选赛一、（必做题）（1）油罐的体积（本题10 分）一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为L，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，油的密度为 ρ ，问当油罐中油的高度为h 时油量是多少？解：由题意可话画出画出几何图形如图1 所示图 1.1椭圆方程为tbytaxsincos如图 2，设阴影部分面积为S/2，则油桶的底面积为S。图 2下面将会利用 mathematics 5.0 软件进行求解 , 求解的程序如下：Integrate[2*a*b*Cos[t]^2,{t,ArcSin[1-h/b],Pi/2}] 解得结果为：))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaSb X Y a b-h 2a L 2b h 1 当bh时，由椭圆对称性， A中的 h 用hb2代替得到：))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaabS所以油液质量 M为：))1arccos()()2(())1arccos()()2((22bhbhbbhhbaLabLMbhbhbhbbhhbaLMbhSLM，则若，则若（2）光的反射定律（本题10 分）费马原理：光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律：入射角等于反射角。解：由于光在同一介质中的速度为常数，所以在同一介质中光总是沿直线传播。如图 3，现假设有两种介质1、2 相接，光线在介质1 中的传播速度为 v, 取两介质的分界线上的一条直线为X 轴，设有一束光线从介质1 中的),0(aA点经 X 轴上的)0,(xP点反射，并沿直线方向行进到),(bdB点。设直线 AP与 X 轴法线的夹角为1 ，PB直线与X轴法线的夹角为2 ，下面，根据最短时间效应来推导出光学中的反射定理。P 图三光线由 A 点传到 P 点所需的时间为 : vxavAPt221Y X 0 A 2P B（d,b）12 光线由 P点传到 B点所需的时间为 : vxdbvPBt222)(故光线由 A传到 B所需的总时间为：vxdbxattt222221)(根据费马定理，最短时间效应对应的优化问题为：vxdbxat2222)(min]),0[(dx令0])([12222xdbxdxaxvdxdt于是可以得到：2222)(xdbxdxax又由于122sinxax，222sin)(xdbxd所以有：21sinsin这就是光学中的反射定理。证毕3 大气污染预报问题摘要本文通过对四个城市的空气质量的排名以及城市A的空气质量，利用 C语言、Excel 、Mathematics 和 MATLAB等工具，分别建立了 层次模型 、多元线性回归预测模型 进行了合理地分析。最后，我得到了以下一些比较满意的结果。问题（1）：通过对问题（ 1）问题的分析，得出了这是一个比较典型的层次模型，目标层是空气质量的排名 ，因素是三种污染物的浓度情况，对象是题目给出的4 个城市 。查找资料后，我找到了一个...
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