《数学分析选讲》第四次主观题作业第一部分一、判断下列命题的正误1. 闭区间],[ba上的可积函数)(xf是有界的 . 正确2．若)(xf在 [ , ]a b 上可积，则)()(xfxf在 [ , ]a b 上也可积正确3．若)(xf在区间 I 上有定义，则)(xf在区间 I 上一定存在原函数. 错误4．若)(xf为],[ba上的增函数，则)(xf在],[ba上可积 . 正确5．若)(xf在],[ba上连续，则存在[ , ]a b ，使( )( )()ba f x dxfba . 正确二、选择题1．对于不定积分dxxf)( , 下列等式中（ A ） 是正确的 . A )()(xfdxxfdxd； B )()(xfdxxf；C )()(xfxdf； D )()(xfdxxfd2． 若11( )xxf x e dxec ，则( )f x 为（ A ）A 21x； B 1x； C 1x； D 21x3．设 5sin x 是)(xf的一个原函数，则dxxf)(（ B ）A cxsin5； B cxcos5； C 5sin x ； D xsin54．(1 cos )dx ( B ) A xcos1； B cxcos； C cxxsin； D cxsin5．若cxdxxf2)(，则dxxxf)1(2（ C ）A cx22)1(2； B cx22)1(2；C cx22)1(21； D cx22)1(216．xdxcos1（ C ）A tansecxxc； B csccotxxc ；C tan2xc； D tan()24x7．)d(exx（ D ）A cxxe； B cxxxee； C cxxe； D cxxxee8． 已知xefx1)(，则)(xf（ D ）A 1ln xc； B 212xxc； C 21lnln2xxc； D lnxxc三、计算题1．求不定积分21xdxx. 2．求不定积分arcsinxdx . 3．求不定积分ln xdx ．4．求不定积分xedx . 令，则四、证明题设 f 为连续函数 . 证明 : 00(sin)(sin)2x fx dxfx dx . 证明： 令，则第二部分一、判断下列命题的正误1. 若)(xf与( )g x 在],[ba上都可积，则( )( )f x g x 在],[ba上也可积 . 正确2．若)(xf在],[ba上连续，则存在( , )a b ，使( )( )()ba f x dxfba ．正确3．若)(xf在],[ba上有无限多间断点，则)(xf在],[ba上一定不可积 . 错误4．无穷积分211 dxx是收敛的. 错误5．若 lim0,nnu则1nnu一定发散 . 正确二、选择题1．)(xf在],[ba上连续是( )ba f x dx 存在的（ A ）A 充分条件； B 必要条件； C 充要条件； D 既不充分也不必要条件2．若10 ()2xk dx，则 k（ A ）A 23； B 1 ； C 1； D 0 3．设0( )(1)(3)xF xttdt , 则)2(F( B ) A 3； B 1； C 3 ； D 1 4．设)(uf连续，已知1200(2 )( )nxfx dxtft dt ，则 n 应是（ B ）A 41； B 4 ； C 1 ； D 2 5．函数)(xf是奇函数，且在],[aa上可积，则（ C ）A aaadxxfdxxf0)(2)(； B aaadxxfdxxf0)(2)(；C 0)(aadxxf； D )(2)(afdxxfaa6．20xxedx( C ) A 0 ； B 1 ； C 12； D 127．若级数111pnn收敛，则必有（ D ） . A 2p； B 2p； C 2p； D 2p8．幂级数12nnnxn的收敛半径是 ( D ) A 4 ； B 21； C 14； D 2三、计算题1．求定积分1024dxx. 令，则2．求定积分101xx dxee. 3．求定积分1 | ln|eex dx ．4．求定积分15212211xdxx. 四、证明题设 f 在],[ba上连续，且)(xf不恒等于零，证明0)(2badxxf. 证设有，使得，于是. 因为在上连续，由连续函数的局部保号性，存在的某邻域（当或时，则为右邻域或左邻域），使得在其中.从而.
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