10—数列的综合问题突破点 (一 )数列求和1.公式法与分组转化法:(1)公式法; (2)分组转化法; 2.倒序相加法与并项求和法:(1)倒序相加法;(2)并项求和法: 在一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf (n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+⋯+ 22-12=(1002-992)+(982-972)+⋯+(2 2-12)= (100+99)+ (98+ 97)+⋯+ (2+1)=5 050. 3.裂项相消法:(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (2)常见的裂项技巧: ①1n n+1=1n-1n+1.②1n n+2=121n-1n+2 .③12n-12n+1 =1212n- 1-12n+ 1 .④1n+n+1=n+1-n. 4.错位相减法分组转化法求和[例 1]已知数列 {an},{bn}满足 a1=5,an=2an-1+3n - 1(n≥2,n∈ N* ),bn=an- 3n(n∈N *).(1)求数列 {bn}的通项公式; (2)求数列 {an}的前 n 项和 Sn. [解 ](1) an=2an-1+3n- 1(n∈ N*,n≥2),∴an-3n=2(an-1-3n-1),∴bn=2bn- 1(n∈N*,n≥2). b1=a1-3=2≠ 0,∴bn≠0(n≥2),∴bnbn- 1=2,∴{bn}是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.∴bn=2·2n- 1=2n. (2)由(1) 知 an=bn+3n=2n+3n,∴Sn=(2+22+⋯+2n)+(3+32+⋯+3n)=2n+1+3n+12 - 72. [方法技巧 ]分组转化法求和的常见类型(1)若 an=bn±cn,且 {bn}, {cn}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{an} 的前 n 项和.(2)通项公式为an=bn, n为奇数,cn, n为偶数的数列,其中数列{bn},{ cn}是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.错位相减法求和[例 2](2016·山东高考 )已知数列 {an}的前 n 项和 Sn=3n2+ 8n,{bn}是等差数列,且an=bn+ bn+1. (1)求数列 {bn}的通项公式; (2)令 cn=an+1n +1bn+ 2n ,求数列 {cn}的前 n 项和 T n. [解 ](1)由题意知,当n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n+ 5,当 n=1 时, a1=S1=11,满足上式,所以 an=6n+5.设数列 { bn}的公差为 d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,所以 bn=3n+1. (2)由(1) 知 cn=6n+6n+13n+3n =3(n+1) ·2n+1,又 Tn=c1+c2+⋯+cn,得 T n= 3×[2 ×22+ 3×23+⋯+(n+1) ×2n+1],2T n=3×[2 ×23+3×24+⋯+(n+1) ×2n+ 2],两式作差...