一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn[例 1] 已知3log1log23 x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21[例 2] 设 Sn＝ 1+2+3+⋯ +n，n∈N *,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴ 当88n，即 n＝8 时，501)(maxnf题 1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2 ｎ－１，则＝题 2．若 12+2 2+ ⋯+(n-1) 2= an 3+ bn 2+ cn，则 a= ,b= ,c= . 解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·bn}的前 n项和，其中 { a n } 、{ b n } 分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{1)12(nxn} 的通项是等差数列{2n －1} 的通项与等比数列{1nx} 的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn[例 4] 求数列,22,,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，{nn22} 的通项是等差数列{2n} 的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①14322226242221nnnS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减 ）1122212nnn∴1224nnnS练习题 1 已知，求数列｛ an｝的前 n 项和 Sn. 答案：练习题 2 的前 n 项和为 ____ 答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. [例 5] 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ①把①式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ ..②①+②...
VIP
