数列前 n 项和的求法一. 用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n} ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题 1：设等差数列{a n} ，公差为d，求证： {a n} 的前 n 项和 Sn=n(a 1+an)/2 解： Sn=a 1+a2+a3+...+an ①倒序得： Sn=an+a n-1 +an-2 +⋯+a 1②①+②得： 2Sn=(a 1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+ ⋯+(a n+a1) 又 a1+an=a2+an-1 =a3+a n-2=⋯=an+a1∴2Sn=n(a 2+an) Sn=n(a 1+an)/2 点拨 ：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+an-1 =a3+an-2 =⋯=an+a1 即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二. 用公式法求数列的前n 项和对等差数列、 等比数列， 求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题 2：求数列的前 n 项和 Sn解：点拨 ：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三. 用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法 是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项， 从而求出数列的前 n 项和。例题 3：求数列(n ∈N*) 的和解：点拨 ：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四. 用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法 是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an· bn} 中， {a n} 成等差数列，{b n} 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。例题 4：求数列 {nan}(n ∈N*) 的和解 ：设 S n= a + 2a2+ 3a3+ ⋯ + nan①则： aSn= a2+ 2a3+ ⋯ + (n-1)an+ nan+1②①- ②得： (1-a)Sn= a + a2+ a3+ ⋯ + an- nan+1③若 a = 1则： Sn= 1 + 2 + 3 + ...
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