1 / 7 第 38 课 数乘向量及坐标运算●考试目标主词填空1.实数与向量的积a 与λ a 同向的充要条件是λ >0. a 与λ a 反向的充要条件是λ <0. λ · (a+b)=λ a+λ b λ · (a-b)=λ a-λ b设 a=(x,y),则λ a=(λ x,λ y). 2.向量的坐标运算设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=),(2121yyxx,a-b=),(2121yyxx,a=bx1=x2 且 y1-y2, a∥ b(a≠0,b≠ 0)x1y2-x2y1=0. 3.三点共线的充要条件A、B、C 三点共线存在 λ ∈R,使 AB =λAC . 4.平面向量的基本定理如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. ●题型示例点津归纳【例 1】设 e1、e2 是不共线的向量，已知向量AB =2e1+ke2, CB =e1+3e2, CD =2e1-e2,若 A、B、D 三点共线，求k值 . 【解前点津】因 A、B、D 三点共线，故存在实数λ ,使 AB =λBD 由此等式可得关于λ ,k 的方程组，从而可求得 k 值. 【规范解答】由条件得 : BD = CD - CB =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. 因 A、B、 D 三点共线，故存在实数λ ,使 AB =λBD ,所以 2e1+ke2=λ (e1-e2)λ =2 且 k=-4λ ,∴ k=-8. 【解后归纳】利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法. 【例 2】一艘船以 5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30° 角，求水流速度与船的实际速度. 【解前点津】用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解. 【规范解答】如图， OA 表示水流速度，OB 表示船向垂直于对岸行驶的速度 , OC 表示船实际速度，∠AOC=30°,|OB |=5 km/h. OACB 为矩形， |OA |=| AC |· cot30° =| OB |·cot30° =53 =8.66(km/h),| OC |=233530cos|| OB10km/h. 所以，水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h. 【解后归纳】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功. 【例 3】(1)证明 :三个两两不平行的向量a,b,c 可以构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是 :a+b+c=0. 例 2 题图2 / 7 (2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形. 【解前点津】利用 (1)的结论证明 (2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论. 【规...
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