09 级 数 模 试 题 1. 把 四 只 脚 的 连 线 呈 长 方 形 的 椅 子 往 不 平 的 地 面 上 一 放 ， 通 常 只 有三 只 脚 着 地 ， 放 不 稳 ， 然 后 稍 微 挪 动 几 次 ， 就 可 以 使 四 只 脚 同 时 着 地 ，放 稳 了 。 试 作 合 理 的 假 设 并 建 立 数 学 模 型 说 明 这 个 现 象 。（ 15 分 ） 解 ： 对 于 此 题 ， 如 果 不 用 任 何 假 设 很 难 证 明 ， 结 果 很 可能 是 否 定 的 。 因 此 对 这 个 问 题 我 们 假 设 ： （ 1） 地 面 为 连 续 曲 面 （ 2） 长 方 形 桌 的 四 条 腿 长 度 相 同 （ 3） 相 对 于 地 面 的 弯 曲 程 度 而 言 ， 方 桌 的 腿 是 足 够 长 的 （ 4） 方 桌 的 腿 只 要 有 一 点 接 触 地 面 就 算 着 地 。 那 么 ， 总 可 以 让 桌 子 的 三 条 腿 是 同 时 接 触 到 地 面 。 现 在 ， 我 们 来 证 明 ： 如 果 上 述 假 设 条件 成 立 ， 那 么 答 案 是 肯 定 的 。 以 长 方 桌 的 中心 为 坐 标 原 点 作 直 角坐 标 系如 图所示，方 桌的 四 条 腿 分 别在 A、B、C、D 处， A、B,C、D的 初始位置在 与x 轴平 行，再假 设 有 一 条 在x 轴上 的 线 ab,则ab 也与A、B， C、D 平 行。 当方 桌 绕中 心 0 旋转时 ，对 角线 ab 与x 轴的 夹角记为 。 容易看出， 当四 条 腿 尚未全部着 地 时 ， 腿 到 地 面 的 距 离 是 不 确 定的 。 为 消 除 这 一 不 确 定 性 ， 令 ( )f 为 A、B 离 地 距 离 之 和 ，( )g 为C、D 离 地 距 离 之 和 ， 它 们 的 值 由 唯 一 确 定 。 由 假 设 （ 1），( )f , ( )g 均为 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故( )f ( )g =0 必成立（ ）。不妨设(0 )0f , (0 )0g g（若(0 )g也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知( )f ,( )g 均为 的连续函数，(0 )0f,(0 )0g且对任意 有00() ()0fg ，求证存在某一0 ，使00(...
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