数学实验报告 实验5 线性代数方程组的数值解法 实验5 线性代数方程组的数值解法 分1 黄浩 2011011743 一、 实验目的 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析； 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。 二、 实验内容 1. 《数学实验》第二版（问题1） 问题叙述： 通过求解线性方程组ᵃ1ᵆ = ᵄ1, ᵃ2ᵆ = ᵄ2，理解条件数的意义和方程组性态对解的影响，其中ᵃ1是n 阶范德蒙矩阵，即 ᵃ1 =[ 1ᵆ0ᵆ02…ᵆ0ᵅ−11ᵆ1ᵆ12…ᵆ1ᵅ−1……………1ᵆᵅ−1ᵆᵅ−12…ᵆᵅ−1ᵅ−1] , ᵆᵅ = 1 + 0.1ᵅ , ᵅ= 0,1,… , ᵅ −1 ᵃ2是n 阶希尔伯特矩阵，b1，b2 分别是ᵃ1, ᵃ2的行和。 （1） 编程构造ᵃ1（ᵃ2可直接用命令产生）和b1，b2；你能预先知道方程组ᵃ1ᵆ = ᵄ1和ᵃ2ᵆ = ᵄ2的解吗？令n=5，用左除命令求解（用预先知道的解可验证程序）。 （2） 令n=5,7,9，…，计算ᵃ1和ᵃ2的条件数。为观察他们是否病态，做以下试验：b1，b2 不变，ᵃ1和ᵃ2的元素ᵃ1(n, n)，ᵃ2(ᵅ,ᵅ)分别加扰动ε后求解；ᵃ1和ᵃ2不变，b1，b2 的分量 b1(n),b2(n)分别加扰动ε后求解。分析A 与 b 的微小扰动对解的影响。ε取 10^-10,10^-8,10^-6。 （3） 经扰动得到的解记做ᵆ̃，计算误差‖ᵆ−ᵆ̃‖‖ᵆ‖ ，与用条件数估计的误差相比较。 模型转换及实验过程： （1）小题. 由 b1,b2 为ᵃ1,ᵃ2的行和，可知方程组ᵃ1ᵆ = ᵄ1和ᵃ2ᵆ = ᵄ2的精确解均为 n行全 1 的列向量。在 n=5 的情况下，用matlab 编程（程序见四.1），构造ᵃ1,ᵃ2数学实验报告 实验5 线性代数方程组的数值解法 和b1，b2，使用高斯消去法得到的解x1,x2 及其相对误差e1,e2（使用excel 计算而得）为： x x1 e1 x2 e2 1 1.000000000000080 0.000000000000080 1.000000000000020 0.000000000000020 1 0.999999999999463 -0.000000000000537 0.999999999999558 -0.000000000000442 1 1.000000000000970 0.000000000000970 1.000000000002010 0.000000000002010 1 0.999999999999288 -0.000000000000712 0.999999999996863 -0.000000000003137 1 1.000000000000180 0.000000000000180 1.000000000001560 0.000000000001560 由上表可见，当n=5 时，所得的解都接近真值，误差在10^-12 的量级左右。 （2）小题 分别取 n=5,...
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